Номер 258, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 258, страница 79.

258. В треугольнике $ABC$ $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle A = \angle B = 45^\circ$, отрезок $CK$ – высота. Найдите сторону $AB$, если $CK = 7$ см.

По условию задачи дан треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$ и $\angle A = \angle B = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным и равнобедренным.

Отрезок $CK$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Высота делит треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle AKC$ и $\triangle BKC$.

Рассмотрим треугольник $AKC$. В нем:

• $\angle AKC = 90^\circ$, так как $CK$ — высота.
• $\angle A = 45^\circ$, по условию.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти третий угол $\angle ACK$:

$\angle ACK = 180^\circ - \angle AKC - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $AKC$ два угла равны ($\angle A = \angle ACK = 45^\circ$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, следовательно, $AK = CK$.

По условию задачи $CK = 7$ см. Значит, $AK$ также равен 7 см.

В исходном равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $CK$, проведенная к основанию $AB$, является также и медианой. Это означает, что точка $K$ делит гипотенузу $AB$ пополам, то есть $AK = KB$.

Таким образом, длина всей гипотенузы $AB$ равна сумме длин ее частей:

$AB = AK + KB = 2 \cdot AK$.

Подставим найденное значение $AK$:

$AB = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

258. Каждая из точек $M$ и $N$ равноудалена от концов отрезка $AB$. Докажите, что прямая $MN$ – серединный перпендикуляр отрезка $AB$.