Номер 256, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 256, страница 79.

256. В треугольнике $ABC$ медиана $BK$ перпендикулярна стороне $AC$. Найдите $\angle ABC$, если $\angle ABK = 25^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$.

По условию задачи, отрезок $BK$ является медианой, проведенной к стороне $AC$. Это означает, что точка $K$ делит сторону $AC$ пополам, то есть $AK = KC$.

Также по условию, медиана $BK$ перпендикулярна стороне $AC$ ($BK \perp AC$). Это означает, что $BK$ является также и высотой треугольника $ABC$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $BK$ является одновременно и медианой, и высотой. Согласно свойству равнобедренного треугольника, если в треугольнике медиана, проведенная к одной из сторон, является также и высотой, то такой треугольник — равнобедренный. В нашем случае это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и, следовательно, стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является биссектрисой угла, из вершины которого она проведена. Следовательно, $BK$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла:

$\angle ABK = \angle CBK$

Из условия задачи нам известно, что $\angle ABK = 25^\circ$. Значит, и $\angle CBK = 25^\circ$.

Угол $\angle ABC$ состоит из двух углов $\angle ABK$ и $\angle CBK$. Чтобы найти его величину, нужно сложить величины этих углов:

$\angle ABC = \angle ABK + \angle CBK = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ$

Ответ: $50^\circ$

256. На рисунке 184 $\triangle ABC = \triangle BCD$, причём $AB = CD$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle DCA$.

Рис. 184