Номер 255, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 255, страница 75.

255. Нарисуйте шестиугольник, который можно одним прямолинейным разрезом разделить на два треугольника.

Для решения этой задачи необходимо построить невыпуклый шестиугольник, у которого некоторые вершины лежат на одной прямой (такие многоугольники иногда называют вырожденными). Выпуклый шестиугольник невозможно разделить одним разрезом на два треугольника, так как любой прямолинейный разрез (диагональ) делит его либо на два четырехугольника, либо на треугольник и пятиугольник.

Построим искомый шестиугольник следующим образом:

1. Возьмём точку A в качестве общей вершины для двух будущих треугольников.
2. Проведём через точку A две несовпадающие прямые, например, перпендикулярные друг другу.
3. На первой прямой отложим от точки A в одном направлении два отрезка, отметив вершины B и C. Таким образом, точки A, B, C будут лежать на одной прямой, и B будет находиться между A и C.
4. На второй прямой аналогично отложим от точки A два отрезка в одном направлении, отметив вершины F и E. Точки A, F, E будут лежать на одной прямой, и F будет находиться между A и E.
5. Выберем шестую вершину D в стороне от этих прямых так, чтобы получившийся многоугольник не имел самопересечений.
6. Соединим вершины в последовательности A → B → C → D → E → F → A. Полученный многоугольник ABCDEF является простым невыпуклым шестиугольником. Углы при вершинах B и F равны $180^\circ$.

Теперь произведём прямолинейный разрез. Разрез будет представлять собой диагональ, соединяющую вершины A и D.

Этот разрез делит шестиугольник ABCDEF на две фигуры:

• Первая фигура ограничена разрезом AD и сторонами AB, BC, CD. Поскольку вершины A, B, C лежат на одной прямой, ломаная A-B-C является отрезком AC. Следовательно, эта фигура является треугольником ACD.
• Вторая фигура ограничена разрезом AD и сторонами DE, EF, FA. Поскольку вершины E, F, A лежат на одной прямой, ломаная E-F-A является отрезком EA. Следовательно, эта фигура является треугольником ADE.

Таким образом, шестиугольник ABCDEF одним прямолинейным разрезом AD разделяется на два треугольника: △ACD и △ADE.

Ниже представлен чертёж такого шестиугольника.

Ответ: Искомый шестиугольник — это невыпуклый шестиугольник, у которого две пары смежных сторон лежат на двух пересекающихся прямых, как показано на рисунке. Например, шестиугольник ABCDEF, у которого точки A, B, C лежат на одной прямой и точки A, F, E лежат на другой прямой.

255. Докажите, что два равносторонних треугольника равны, если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника.