Номер 250, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 250, страница 75.

250. На продолжениях сторон AB, BC, AC равностороннего треугольника ABC (рис. 188) за точки A, B и C соответственно отложили равные отрезки AD, BK и CE. Докажите, что $ \Delta DEK $ равносторонний.

Рис. 188

Рассмотрим три треугольника: $△DAE$, $△KBD$ и $△ECK$. Чтобы доказать, что $△DEK$ является равносторонним, нам нужно показать, что его стороны равны, то есть $DE = EK = KD$. Мы сделаем это, доказав равенство трех упомянутых треугольников.

1. Анализ сторон.

По условию, треугольник $△ABC$ — равносторонний. Это означает, что все его стороны равны: $AB = BC = AC$.

Также по условию на продолжениях сторон отложены равные отрезки: $AD = BK = CE$.

Теперь найдем длины сторон $AE$, $BD$ и $CK$.

• Точка $E$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точку $C$, следовательно, $AE = AC + CE$.
• Точка $D$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $A$, следовательно, $BD = AB + AD$.
• Точка $K$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $B$, следовательно, $CK = BC + BK$.

Поскольку $AB = BC = AC$ и $AD = BK = CE$, мы можем заключить, что стороны $AE$, $BD$ и $CK$ также равны между собой: $AE = BD = CK$.

2. Анализ углов.

Так как $△ABC$ — равносторонний, все его углы равны $60°$: $∠CAB = ∠ABC = ∠BCA = 60°$.

Рассмотрим углы $∠DAE$, $∠KBD$ и $∠ECK$.

• Угол $∠DAE$ является смежным с углом $∠CAB$, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $DB$. Следовательно, $∠DAE = 180° - ∠CAB = 180° - 60° = 120°$.
• Угол $∠KBD$ является смежным с углом $∠ABC$, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $CK$. Следовательно, $∠KBD = 180° - ∠ABC = 180° - 60° = 120°$.
• Угол $∠ECK$ является смежным с углом $∠BCA$, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $AE$. Следовательно, $∠ECK = 180° - ∠BCA = 180° - 60° = 120°$.

Таким образом, все три угла равны: $∠DAE = ∠KBD = ∠ECK = 120°$.

3. Доказательство равенства треугольников.

Теперь мы можем сравнить треугольники $△DAE$, $△KBD$ и $△ECK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Сравним $△DAE$ и $△KBD$:

• $DA = KB$ (по условию).
• $AE = BD$ (как было доказано выше).
• $∠DAE = ∠KBD = 120°$ (угол $∠DAE$ заключен между сторонами $DA$ и $AE$, а угол $∠KBD$ — между сторонами $KB$ и $BD$).

Следовательно, $△DAE ≅ △KBD$ по двум сторонам и углу между ними. Из этого следует, что их третьи стороны равны: $DE = KD$.

Сравним $△KBD$ и $△ECK$:

• $KB = EC$ (по условию).
• $BD = CK$ (как было доказано выше).
• $∠KBD = ∠ECK = 120°$ (угол $∠KBD$ заключен между сторонами $KB$ и $BD$, а угол $∠ECK$ — между сторонами $EC$ и $CK$).

Следовательно, $△KBD ≅ △ECK$ по двум сторонам и углу между ними. Из этого следует, что их третьи стороны равны: $KD = EK$.

4. Вывод.

Из полученных равенств $DE = KD$ и $KD = EK$ следует, что все три стороны треугольника $△DEK$ равны между собой: $DE = EK = KD$. Следовательно, треугольник $△DEK$ является равносторонним, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $△DAE$, $△KBD$ и $△ECK$ доказывается по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). У них оказываются равными стороны ($DA = KB = EC$ и $AE = BD = CK$) и углы между ними ($∠DAE = ∠KBD = ∠ECK = 120°$). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон $DE$, $KD$ и $EK$. Таким образом, треугольник $△DEK$ является равносторонним.

250. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на $42^\circ$ больше половины второго угла.