Номер 244, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 244, страница 74.

244. Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные из вершин углов при основании, равны.

Дано:

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = BC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании также равны: $\angle BAC = \angle BCA$.
Из вершин углов при основании $A$ и $C$ проведены биссектрисы $AD$ и $CE$ соответственно, где точка $D$ лежит на стороне $BC$, а точка $E$ — на стороне $AB$.

Доказать:

$AD = CE$.

Доказательство:

Для доказательства рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$.
Сравним эти треугольники по трём элементам:
1. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.
2. Углы $\angle EAC$ и $\angle DCA$ равны, так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$ ($\angle EAC = \angle BAC$, $\angle DCA = \angle BCA$, и по условию $\angle BAC = \angle BCA$).
3. Так как $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, то $\angle DAC = \frac{1}{2}\angle BAC$. Так как $CE$ — биссектриса угла $\angle BCA$, то $\angle ECA = \frac{1}{2}\angle BCA$. Поскольку углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$ равны, то и их половины равны, следовательно, $\angle DAC = \angle ECA$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$ сторона $AC$ — общая, и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\angle DAC$ и $\angle DCA$) соответственно равны двум прилежащим углам другого треугольника ($\angle ECA$ и $\angle EAC$).
Следовательно, $\triangle ADC \cong \triangle CEA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
В равных треугольниках соответствующие стороны равны. Сторона $AD$ в $\triangle ADC$ лежит напротив угла $\angle DCA$. Сторона $CE$ в $\triangle CEA$ лежит напротив угла $\angle EAC$. Так как $\angle DCA = \angle EAC$, то и стороны, лежащие напротив них, равны.
Значит, $AD = CE$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство биссектрис, проведённых из вершин углов при основании равнобедренного треугольника, доказано.

Докажите, что $AM = BK$.

244. Медиана $AM$ треугольника $ABC$ перпендикулярна его биссектрисе $BK$. Найдите сторону $AB$, если $BC = 16$ см.