Номер 245, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 245, страница 74.

245. Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Также в равнобедренном треугольнике равны углы при основании: $\angle BAC = \angle BCA$.

Проведём медианы $AM$ к боковой стороне $BC$ и $CN$ к боковой стороне $AB$. Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Таким образом, точка $M$ является серединой стороны $BC$, а точка $N$ – серединой стороны $AB$.

Требуется доказать, что медианы $AM$ и $CN$ равны, то есть $AM = CN$.

Доказательство:

Для доказательства равенства отрезков $AM$ и $CN$ рассмотрим треугольники $\triangle ACM$ и $\triangle CAN$.

1. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

2. Так как $N$ – середина стороны $AB$, то $AN = \frac{1}{2} AB$. Так как $M$ – середина стороны $BC$, то $CM = \frac{1}{2} BC$. Поскольку по условию $AB = BC$, то и половины этих сторон равны: $AN = CM$.

3. Углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$ равны, то есть $\angle NAC = \angle MCA$ (так как это те же углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$).

Таким образом, мы имеем два треугольника ($\triangle ACM$ и $\triangle CAN$), у которых две стороны и угол между ними соответственно равны:

• $AN = CM$ (как половины равных сторон)
• $\angle NAC = \angle MCA$ (как углы при основании равнобедренного треугольника)
• $AC$ – общая сторона

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle CAN$ равен треугольнику $\triangle ACM$. $$ \triangle CAN \cong \triangle ACM $$

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $CN$ в треугольнике $\triangle CAN$ лежит напротив угла $\angle NAC$. Сторона $AM$ в треугольнике $\triangle ACM$ лежит напротив угла $\angle MCA$. Так как $\angle NAC = \angle MCA$, то и противолежащие им стороны равны: $CN = AM$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

245. Прямая, проходящая через вершину $A$ треугольника $ABC$ перпендикулярно его медиане $BD$, делит эту медиану пополам. Найдите отношение длин сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$.