Номер 252, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 252, страница 75.

252. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а его медиана разбивает данный треугольник на два треугольника так, что периметр одного из них на 6 см меньше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 20$ см и боковыми сторонами $AB = BC = b$. Медиана может быть проведена либо к основанию, либо к одной из боковых сторон. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Медиана проведена к основанию

Пусть $BM$ — медиана, проведенная к основанию $AC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Следовательно, $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Медиана $BM$ разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

Найдем их периметры:

$P_{ABM} = AB + AM + BM = b + 10 + BM$

$P_{CBM} = BC + CM + BM = b + 10 + BM$

Периметры этих треугольников равны ($P_{ABM} = P_{CBM}$), что противоречит условию задачи, согласно которому периметр одного треугольника на 6 см меньше периметра другого. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Медиана проведена к боковой стороне

Пусть $AM$ — медиана, проведенная к боковой стороне $BC$. Точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$.

Медиана $AM$ разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle AMC$.

Найдем их периметры:

$P_{ABM} = AB + BM + AM = b + \frac{b}{2} + AM = \frac{3b}{2} + AM$

$P_{AMC} = AC + MC + AM = 20 + \frac{b}{2} + AM$

По условию задачи, разность периметров этих треугольников равна 6 см. Составим уравнение:

$|P_{ABM} - P_{AMC}| = 6$

$|(\frac{3b}{2} + AM) - (20 + \frac{b}{2} + AM)| = 6$

$|\frac{3b}{2} - \frac{b}{2} - 20| = 6$

$|b - 20| = 6$

Это уравнение с модулем распадается на два случая:

1) $b - 20 = 6 \implies b_1 = 26$

2) $b - 20 = -6 \implies b_2 = 14$

Проверим, могут ли существовать такие треугольники, используя неравенство треугольника. Для равнобедренного треугольника с боковой стороной $b$ и основанием 20 должно выполняться условие: сумма двух боковых сторон больше основания.

$b + b > 20 \implies 2b > 20 \implies b > 10$

Оба найденных значения удовлетворяют этому условию:

1) Если $b = 26$ см, то $26 > 10$. Треугольник со сторонами 26, 26, 20 существует.

2) Если $b = 14$ см, то $14 > 10$. Треугольник со сторонами 14, 14, 20 существует.

Случай, когда медиана проведена из вершины $C$ к боковой стороне $AB$, полностью симметричен рассмотренному и приведет к тем же результатам.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Боковая сторона треугольника может быть равна 14 см или 26 см. Задача имеет два решения.

Рис. 182

Упражнения

252. На рисунке 182 $AB = CD$, $BC = AD$. Докажите, что $\angle B = \angle D$.