Страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

249. Верно ли утверждение:

1) биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой и медианой;

2) биссектриса равностороннего треугольника является его высотой и медианой;

3) если периметр треугольника в 3 раза больше одной из его сторон, то этот треугольник равносторонний?

1) биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой и медианой

Утверждение неверно. В равнобедренном треугольнике свойством быть одновременно высотой и медианой обладает только биссектриса, проведенная к основанию (из угла между равными сторонами). Биссектрисы, проведенные из углов при основании, в общем случае не являются ни высотами, ни медианами. Например, в равнобедренном треугольнике со сторонами 5, 5 и 8, биссектриса, проведенная из угла при основании, не будет являться ни медианой, ни высотой. Ответ: Неверно

2) биссектриса равностороннего треугольника является его высотой и медианой

Утверждение верно. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, у которого любая из трех сторон может считаться основанием. Так как все стороны равны, то и биссектриса, проведенная из любой вершины, будет проведена к "основанию" из угла между равными сторонами. Следовательно, любая биссектриса в равностороннем треугольнике является также его высотой и медианой. Ответ: Верно

3) если периметр треугольника в 3 раза больше одной из его сторон, то этот треугольник равносторонний?

Утверждение неверно. Обозначим стороны треугольника как $a, b, c$. Периметр треугольника $P = a + b + c$. По условию, периметр в 3 раза больше одной из сторон, например, стороны $a$. То есть, $P = 3a$. Подставим это в формулу периметра: $a + b + c = 3a$. Вычтем $a$ из обеих частей уравнения: $b + c = 2a$. Это равенство не означает, что $b=a$ и $c=a$. Можно привести контрпример. Рассмотрим треугольник со сторонами $a=4, b=3, c=5$. Проверим, существует ли такой треугольник с помощью неравенства треугольника: $3+4>5$ (верно), $3+5>4$ (верно), $4+5>3$ (верно). Треугольник существует. Его периметр $P = 3+4+5 = 12$. Сравним периметр со стороной $a=4$: $P = 12$, $3a = 3 \cdot 4 = 12$. Условие $P=3a$ выполняется, но треугольник со сторонами 3, 4, 5 не является равносторонним. Ответ: Неверно

249. На прямой последовательно отметили точки $A, B, C, D, E$ и $F$ так, что $AB = BC = CD = DE = EF$. Найдите отношения $AB : CF, AB : BF, BD : AE$.

250. На продолжениях сторон AB, BC, AC равностороннего треугольника ABC (рис. 188) за точки A, B и C соответственно отложили равные отрезки AD, BK и CE. Докажите, что $ \Delta DEK $ равносторонний.

Рис. 188

Рассмотрим три треугольника: $△DAE$, $△KBD$ и $△ECK$. Чтобы доказать, что $△DEK$ является равносторонним, нам нужно показать, что его стороны равны, то есть $DE = EK = KD$. Мы сделаем это, доказав равенство трех упомянутых треугольников.

1. Анализ сторон.

По условию, треугольник $△ABC$ — равносторонний. Это означает, что все его стороны равны: $AB = BC = AC$.

Также по условию на продолжениях сторон отложены равные отрезки: $AD = BK = CE$.

Теперь найдем длины сторон $AE$, $BD$ и $CK$.

• Точка $E$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точку $C$, следовательно, $AE = AC + CE$.
• Точка $D$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $A$, следовательно, $BD = AB + AD$.
• Точка $K$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $B$, следовательно, $CK = BC + BK$.

Поскольку $AB = BC = AC$ и $AD = BK = CE$, мы можем заключить, что стороны $AE$, $BD$ и $CK$ также равны между собой: $AE = BD = CK$.

2. Анализ углов.

Так как $△ABC$ — равносторонний, все его углы равны $60°$: $∠CAB = ∠ABC = ∠BCA = 60°$.

Рассмотрим углы $∠DAE$, $∠KBD$ и $∠ECK$.

• Угол $∠DAE$ является смежным с углом $∠CAB$, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $DB$. Следовательно, $∠DAE = 180° - ∠CAB = 180° - 60° = 120°$.
• Угол $∠KBD$ является смежным с углом $∠ABC$, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $CK$. Следовательно, $∠KBD = 180° - ∠ABC = 180° - 60° = 120°$.
• Угол $∠ECK$ является смежным с углом $∠BCA$, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $AE$. Следовательно, $∠ECK = 180° - ∠BCA = 180° - 60° = 120°$.

Таким образом, все три угла равны: $∠DAE = ∠KBD = ∠ECK = 120°$.

3. Доказательство равенства треугольников.

Теперь мы можем сравнить треугольники $△DAE$, $△KBD$ и $△ECK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Сравним $△DAE$ и $△KBD$:

• $DA = KB$ (по условию).
• $AE = BD$ (как было доказано выше).
• $∠DAE = ∠KBD = 120°$ (угол $∠DAE$ заключен между сторонами $DA$ и $AE$, а угол $∠KBD$ — между сторонами $KB$ и $BD$).

Следовательно, $△DAE ≅ △KBD$ по двум сторонам и углу между ними. Из этого следует, что их третьи стороны равны: $DE = KD$.

Сравним $△KBD$ и $△ECK$:

• $KB = EC$ (по условию).
• $BD = CK$ (как было доказано выше).
• $∠KBD = ∠ECK = 120°$ (угол $∠KBD$ заключен между сторонами $KB$ и $BD$, а угол $∠ECK$ — между сторонами $EC$ и $CK$).

Следовательно, $△KBD ≅ △ECK$ по двум сторонам и углу между ними. Из этого следует, что их третьи стороны равны: $KD = EK$.

4. Вывод.

Из полученных равенств $DE = KD$ и $KD = EK$ следует, что все три стороны треугольника $△DEK$ равны между собой: $DE = EK = KD$. Следовательно, треугольник $△DEK$ является равносторонним, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $△DAE$, $△KBD$ и $△ECK$ доказывается по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). У них оказываются равными стороны ($DA = KB = EC$ и $AE = BD = CK$) и углы между ними ($∠DAE = ∠KBD = ∠ECK = 120°$). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон $DE$, $KD$ и $EK$. Таким образом, треугольник $△DEK$ является равносторонним.

250. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на $42^\circ$ больше половины второго угла.

251. На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ (рис. 189) отметили точки $M$, $K$ и $D$ так, что $AD = BM = CK$. Докажите, что $\Delta MKD$ равносторонний.

Рис. 189

Дано:
$△ABC$ — равносторонний,
$D \in AC$, $M \in AB$, $K \in BC$,
$AD = BM = CK$.

Доказать:
$△MKD$ — равносторонний.

Доказательство:

Рассмотрим три треугольника: $△ADM$, $△BMK$ и $△CKD$.

1. Поскольку $△ABC$ равносторонний по условию, то все его стороны равны и все углы равны $60°$:
$AB = BC = AC$
$∠A = ∠B = ∠C = 60°$.

2. По условию задачи отрезки $AD$, $BM$ и $CK$ равны: $AD = BM = CK$.

3. Найдем длины отрезков $AM$, $BK$ и $CD$.
$AM = AB - BM$
$BK = BC - CK$
$CD = AC - AD$
Так как $AB = BC = AC$ и $BM = CK = AD$, то, вычитая равные отрезки из равных, мы получаем равные результаты:
$AM = BK = CD$.

4. Теперь мы можем сравнить треугольники $△ADM$, $△BMK$ и $△CKD$. В них:
- $AD = BM = CK$ (по условию).
- $AM = BK = CD$ (как доказано в пункте 3).
- $∠A = ∠B = ∠C = 60°$ (углы равностороннего треугольника).
Таким образом, $△ADM = △BMK = △CKD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

5. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Стороны $DM$, $MK$ и $KD$ лежат напротив равных углов $A$, $B$ и $C$. Следовательно, эти стороны равны между собой:
$DM = MK = KD$.

6. Поскольку все три стороны треугольника $△MKD$ равны, то по определению он является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $△ADM$, $△BMK$ и $△CKD$ доказано по двум сторонам и углу между ними. Из их равенства следует, что $DM = MK = KD$, а значит, треугольник $△MKD$ является равносторонним.

251. Разрежьте прямоугольник размером $4 \times 9$ на две равные части, из которых можно сложить квадрат.

252. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а его медиана разбивает данный треугольник на два треугольника так, что периметр одного из них на 6 см меньше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 20$ см и боковыми сторонами $AB = BC = b$. Медиана может быть проведена либо к основанию, либо к одной из боковых сторон. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Медиана проведена к основанию

Пусть $BM$ — медиана, проведенная к основанию $AC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Следовательно, $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Медиана $BM$ разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

Найдем их периметры:

$P_{ABM} = AB + AM + BM = b + 10 + BM$

$P_{CBM} = BC + CM + BM = b + 10 + BM$

Периметры этих треугольников равны ($P_{ABM} = P_{CBM}$), что противоречит условию задачи, согласно которому периметр одного треугольника на 6 см меньше периметра другого. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Медиана проведена к боковой стороне

Пусть $AM$ — медиана, проведенная к боковой стороне $BC$. Точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$.

Медиана $AM$ разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle AMC$.

Найдем их периметры:

$P_{ABM} = AB + BM + AM = b + \frac{b}{2} + AM = \frac{3b}{2} + AM$

$P_{AMC} = AC + MC + AM = 20 + \frac{b}{2} + AM$

По условию задачи, разность периметров этих треугольников равна 6 см. Составим уравнение:

$|P_{ABM} - P_{AMC}| = 6$

$|(\frac{3b}{2} + AM) - (20 + \frac{b}{2} + AM)| = 6$

$|\frac{3b}{2} - \frac{b}{2} - 20| = 6$

$|b - 20| = 6$

Это уравнение с модулем распадается на два случая:

1) $b - 20 = 6 \implies b_1 = 26$

2) $b - 20 = -6 \implies b_2 = 14$

Проверим, могут ли существовать такие треугольники, используя неравенство треугольника. Для равнобедренного треугольника с боковой стороной $b$ и основанием 20 должно выполняться условие: сумма двух боковых сторон больше основания.

$b + b > 20 \implies 2b > 20 \implies b > 10$

Оба найденных значения удовлетворяют этому условию:

1) Если $b = 26$ см, то $26 > 10$. Треугольник со сторонами 26, 26, 20 существует.

2) Если $b = 14$ см, то $14 > 10$. Треугольник со сторонами 14, 14, 20 существует.

Случай, когда медиана проведена из вершины $C$ к боковой стороне $AB$, полностью симметричен рассмотренному и приведет к тем же результатам.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Боковая сторона треугольника может быть равна 14 см или 26 см. Задача имеет два решения.

Рис. 182

Упражнения

252. На рисунке 182 $AB = CD$, $BC = AD$. Докажите, что $\angle B = \angle D$.

253. На рисунке 190 $a \perp b$, $\angle 1 = 35^\circ$. Найдите $\angle 2, \angle 3, \angle 4$.

Рис. 190

По условию задачи дано, что прямые a и b перпендикулярны ($a \perp b$), а это значит, что углы, образованные их пересечением, равны $90^\circ$. Также известно, что $\angle 1 = 35^\circ$.

Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ вместе образуют прямой угол в левой верхней четверти, так как они расположены между перпендикулярными лучами прямых a и b. Следовательно, их сумма равна $90^\circ$.

$\angle 1 + \angle 2 = 90^\circ$

Подставим известное значение $\angle 1$ в формулу:

$35^\circ + \angle 2 = 90^\circ$

Теперь найдем величину $\angle 2$:

$\angle 2 = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$

Ответ: $\angle 2 = 55^\circ$.

Чтобы найти $\angle 3$, мы можем использовать значения других углов. Сначала определим $\angle 4$. Углы $\angle 2$ и $\angle 4$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямой a и диагональной прямой. Вертикальные углы равны, поэтому $\angle 4 = \angle 2 = 55^\circ$.

Теперь рассмотрим прямой угол в правой нижней четверти, образованный перпендикулярными прямыми a и b. Этот угол состоит из суммы углов $\angle 3$ и $\angle 4$.

$\angle 3 + \angle 4 = 90^\circ$

Подставим найденное значение $\angle 4 = 55^\circ$:

$\angle 3 + 55^\circ = 90^\circ$

Вычислим $\angle 3$:

$\angle 3 = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$

Ответ: $\angle 3 = 35^\circ$.

Углы $\angle 2$ и $\angle 4$ являются вертикальными углами, которые образуются при пересечении прямой a и диагональной прямой. По свойству вертикальных углов, они равны между собой.

$\angle 4 = \angle 2$

Так как мы уже вычислили, что $\angle 2 = 55^\circ$, то:

$\angle 4 = 55^\circ$

Ответ: $\angle 4 = 55^\circ$.

253. На рисунке 183 $AC = AD$, $BC = BD$. Найдите угол $\angle BAC$, если $\angle BAD = 25^\circ$.

Рис. 183

254. Точки $C$ и $D$ разделили отрезок $AB$, длина которого равна $a$, на три отрезка $AC$, $CD$ и $DB$ так, что $AC = 2CD$, $CD = 2DB$. Найдите рас-стояние между:

1) точкой $А$ и серединой отрезка $CD$;

2) серединами отрезков $AC$ и $DB$.

По условию задачи, отрезок $AB$ длиной $a$ разделен точками C и D на три отрезка $AC$, $CD$ и $DB$. Длины этих отрезков связаны соотношениями: $AC = 2CD$ и $CD = 2DB$.

Сначала выразим длины всех отрезков через одну переменную. Пусть длина отрезка $DB = x$. Тогда из условия $CD = 2DB$ получаем $CD = 2x$. А из условия $AC = 2CD$ получаем $AC = 2(2x) = 4x$.

Сумма длин этих трех отрезков составляет длину всего отрезка $AB$: $AC + CD + DB = AB$ Подставим наши выражения: $4x + 2x + x = a$ $7x = a$ Отсюда $x = \frac{a}{7}$.

Теперь мы можем найти длины каждого из отрезков в долях от $a$: $DB = x = \frac{a}{7}$ $CD = 2x = 2 \cdot \frac{a}{7} = \frac{2a}{7}$ $AC = 4x = 4 \cdot \frac{a}{7} = \frac{4a}{7}$

1) точкой А и серединой отрезка CD;

Пусть точка $M$ является серединой отрезка $CD$. Нам необходимо найти расстояние $AM$. Это расстояние равно сумме длин отрезков $AC$ и $CM$. $AM = AC + CM$ Так как $M$ — середина $CD$, то $CM = \frac{1}{2}CD$. $CM = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{7} = \frac{a}{7}$ Теперь вычислим искомое расстояние: $AM = AC + CM = \frac{4a}{7} + \frac{a}{7} = \frac{5a}{7}$

Ответ: $\frac{5a}{7}$

2) серединами отрезков AC и DB.

Пусть точка $P$ — середина отрезка $AC$, а точка $Q$ — середина отрезка $DB$. Нам необходимо найти расстояние $PQ$. Это расстояние можно найти как сумму длин отрезков $PC$, $CD$ и $DQ$. $PQ = PC + CD + DQ$ Найдем длину каждого из этих отрезков: $P$ — середина $AC$, значит $PC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot \frac{4a}{7} = \frac{2a}{7}$. $Q$ — середина $DB$, значит $DQ = \frac{1}{2}DB = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{7} = \frac{a}{14}$. Длина $CD$ нам уже известна: $CD = \frac{2a}{7}$. Теперь сложим полученные значения: $PQ = \frac{2a}{7} + \frac{2a}{7} + \frac{a}{14}$ Приведем дроби к общему знаменателю 14: $PQ = \frac{4a}{14} + \frac{4a}{14} + \frac{a}{14} = \frac{4a + 4a + a}{14} = \frac{9a}{14}$

Ответ: $\frac{9a}{14}$

254. Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и основание одного треугольника соответственно равны боковой стороне и основанию другого треугольника.

255. Нарисуйте шестиугольник, который можно одним прямолинейным разрезом разделить на два треугольника.

Для решения этой задачи необходимо построить невыпуклый шестиугольник, у которого некоторые вершины лежат на одной прямой (такие многоугольники иногда называют вырожденными). Выпуклый шестиугольник невозможно разделить одним разрезом на два треугольника, так как любой прямолинейный разрез (диагональ) делит его либо на два четырехугольника, либо на треугольник и пятиугольник.

Построим искомый шестиугольник следующим образом:

1. Возьмём точку A в качестве общей вершины для двух будущих треугольников.
2. Проведём через точку A две несовпадающие прямые, например, перпендикулярные друг другу.
3. На первой прямой отложим от точки A в одном направлении два отрезка, отметив вершины B и C. Таким образом, точки A, B, C будут лежать на одной прямой, и B будет находиться между A и C.
4. На второй прямой аналогично отложим от точки A два отрезка в одном направлении, отметив вершины F и E. Точки A, F, E будут лежать на одной прямой, и F будет находиться между A и E.
5. Выберем шестую вершину D в стороне от этих прямых так, чтобы получившийся многоугольник не имел самопересечений.
6. Соединим вершины в последовательности A → B → C → D → E → F → A. Полученный многоугольник ABCDEF является простым невыпуклым шестиугольником. Углы при вершинах B и F равны $180^\circ$.

Теперь произведём прямолинейный разрез. Разрез будет представлять собой диагональ, соединяющую вершины A и D.

Этот разрез делит шестиугольник ABCDEF на две фигуры:

• Первая фигура ограничена разрезом AD и сторонами AB, BC, CD. Поскольку вершины A, B, C лежат на одной прямой, ломаная A-B-C является отрезком AC. Следовательно, эта фигура является треугольником ACD.
• Вторая фигура ограничена разрезом AD и сторонами DE, EF, FA. Поскольку вершины E, F, A лежат на одной прямой, ломаная E-F-A является отрезком EA. Следовательно, эта фигура является треугольником ADE.

Таким образом, шестиугольник ABCDEF одним прямолинейным разрезом AD разделяется на два треугольника: △ACD и △ADE.

Ниже представлен чертёж такого шестиугольника.

Ответ: Искомый шестиугольник — это невыпуклый шестиугольник, у которого две пары смежных сторон лежат на двух пересекающихся прямых, как показано на рисунке. Например, шестиугольник ABCDEF, у которого точки A, B, C лежат на одной прямой и точки A, F, E лежат на другой прямой.

255. Докажите, что два равносторонних треугольника равны, если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника.