Страница 78 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте признаки равнобедренного треугольника.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Существует несколько признаков, по которым можно определить, является ли треугольник равнобедренным.

Признак по углам

Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам (боковые стороны), равны между собой. Например, если в треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$, то стороны $AB$ и $BC$ равны, и треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Ответ: треугольник является равнобедренным.

Признак по совпадению высоты и медианы

Если в треугольнике отрезок, проведенный из вершины к противолежащей стороне, является одновременно и высотой, и медианой, то этот треугольник равнобедренный. Например, если в треугольнике $ABC$ отрезок $BH$, проведенный к стороне $AC$, является высотой ($BH \perp AC$) и медианой ($AH = HC$), то треугольник $ABC$ — равнобедренный со сторонами $AB = BC$.

Ответ: треугольник является равнобедренным.

Признак по совпадению высоты и биссектрисы

Если в треугольнике отрезок, проведенный из вершины к противолежащей стороне, является одновременно и высотой, и биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный. Например, если в треугольнике $ABC$ отрезок $BH$, проведенный к стороне $AC$, является высотой ($BH \perp AC$) и биссектрисой ($\angle ABH = \angle CBH$), то треугольник $ABC$ — равнобедренный со сторонами $AB = BC$.

Ответ: треугольник является равнобедренным.

Признак по совпадению медианы и биссектрисы

Если в треугольнике отрезок, проведенный из вершины к противолежащей стороне, является одновременно и медианой, и биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный. Например, если в треугольнике $ABC$ отрезок $BM$, проведенный к стороне $AC$, является медианой ($AM = MC$) и биссектрисой ($\angle ABM = \angle CBM$), то треугольник $ABC$ — равнобедренный со сторонами $AB = BC$.

Ответ: треугольник является равнобедренным.

1. Сформулируйте признаки равнобедренного треугольника.

2. Какова связь между равными углами и равными сторонами треугольника?

Связь между равными углами и равными сторонами в треугольнике является фундаментальным свойством геометрии. Она прямая и двусторонняя: наличие равных сторон гарантирует наличие равных углов, и наоборот.

Основное правило гласит: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Это свойство равнобедренного треугольника. Например, если в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), то углы, которые лежат напротив этих сторон, также будут равны. Это угол при вершине $C$ ($\angle C$), лежащий напротив стороны $AB$, и угол при вершине $A$ ($\angle A$), лежащий напротив стороны $BC$. Следовательно, из $AB = BC$ вытекает, что $\angle A = \angle C$.

Обратное утверждение также является верным: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Это признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике $ABC$ равны два угла, например $\angle A = \angle C$, то стороны, лежащие напротив этих углов, будут равны. Сторона $BC$ лежит напротив угла $\angle A$, а сторона $AB$ – напротив угла $\angle C$. Таким образом, из равенства углов $\angle A = \angle C$ следует равенство сторон $BC = AB$.

Эта закономерность наиболее полно проявляется в равностороннем треугольнике. Если все три стороны треугольника равны ($AB = BC = CA$), то все три его угла также равны ($\angle A = \angle B = \angle C$). Так как сумма углов треугольника составляет $180^\circ$, каждый из них равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$. И наоборот, если все углы треугольника равны по $60^\circ$, то он является равносторонним, то есть все его стороны равны.

Ответ: В любом треугольнике против равных сторон лежат равные углы, и, наоборот, против равных углов лежат равные стороны.

2. Какова связь между равными углами и равными сторонами треугольника?

3. Какой вид имеет треугольник, все углы которого равны?

Для определения вида треугольника, у которого все углы равны, необходимо воспользоваться свойством о сумме углов треугольника и следствиями из него.

1. Известно, что сумма углов любого треугольника в евклидовой геометрии составляет $180^\circ$.

2. Пусть в данном треугольнике три угла, и все они равны между собой. Обозначим величину каждого угла как $ \alpha $.

3. Сумма этих трех равных углов будет равна $ \alpha + \alpha + \alpha = 3\alpha $.

4. Так как сумма углов должна быть равна $180^\circ$, мы можем составить уравнение: $3\alpha = 180^\circ$.

5. Решив это уравнение, мы найдем градусную меру каждого угла: $ \alpha = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ $. Следовательно, каждый угол такого треугольника равен $60^\circ$.

6. В треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Поскольку все три угла нашего треугольника равны ($60^\circ$), то все три стороны, лежащие напротив этих углов, также равны между собой.

7. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. Так как у него равны и все углы, его также называют правильным треугольником.

Ответ: Равносторонний (или правильный) треугольник.