Страница 73 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

224. Периметр равнобедренного треугольника равен 28 см, а боковая сторона – 10 см. Найдите основание треугольника.

Периметр равнобедренного треугольника равен сумме длин всех его сторон. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Обозначим длину боковой стороны как $a$, а длину основания как $b$.

Формула для периметра $P$ равнобедренного треугольника:

$P = a + a + b = 2a + b$

По условию задачи, периметр $P = 28$ см, а боковая сторона $a = 10$ см. Подставим известные значения в формулу:

$28 = 2 \cdot 10 + b$

$28 = 20 + b$

Теперь найдем основание $b$, вычтя из периметра сумму длин двух боковых сторон:

$b = 28 - 20$

$b = 8$ см

Проверим выполнение неравенства треугольника, чтобы убедиться, что такой треугольник существует. Сумма длин любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.

Стороны треугольника: 10 см, 10 см, 8 см.

• $10 + 10 > 8$ (20 > 8) - верно.
• $10 + 8 > 10$ (18 > 10) - верно.

Неравенство треугольника выполняется, значит, решение верное.

Ответ: 8 см.

224. Одна из сторон равнобедренного треугольника равна 4 см. Найдите две другие стороны, если периметр треугольника равен 14 см.

225. Найдите стороны равнобедренного треугольника, периметр которого равен 32 см, а основание на 5 см больше боковой стороны.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $x$ см. Поскольку треугольник равнобедренный, вторая боковая сторона также имеет длину $x$ см.

Согласно условию, основание на 5 см больше боковой стороны. Следовательно, длина основания равна $(x + 5)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию задачи, периметр равен 32 см. Составим уравнение на основе этих данных:

$x + x + (x + 5) = 32$

Упростим и решим полученное уравнение:

$3x + 5 = 32$

$3x = 32 - 5$

$3x = 27$

$x = \frac{27}{3}$

$x = 9$

Таким образом, длина каждой из боковых сторон равна 9 см.

Теперь найдем длину основания:

Основание = $x + 5 = 9 + 5 = 14$ см.

Стороны треугольника равны 9 см, 9 см и 14 см. Проверим, что периметр действительно равен 32 см: $9 + 9 + 14 = 32$ см. Условие выполняется.

Ответ: боковые стороны треугольника равны по 9 см, основание равно 14 см.

две другие стороны, если периметр треугольника равен 14 см.

225. Верно ли утверждение:

1) биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой и медианой;

2) биссектриса равностороннего треугольника является его высотой и медианой;

3) если периметр треугольника в 3 раза больше одной из его сторон, то этот треугольник равносторонний?

226. Найдите стороны равнобедренного треугольника, периметр которого равен 54 см, а основание в 4 раза меньше боковой стороны.

Пусть основание равнобедренного треугольника равно $x$ см. Согласно условию задачи, основание в 4 раза меньше боковой стороны. Это означает, что боковая сторона в 4 раза больше основания. Следовательно, длина боковой стороны равна $4x$ см.

Так как треугольник равнобедренный, у него две равные боковые стороны. Таким образом, длины сторон треугольника равны $x$ см, $4x$ см и $4x$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр $P$ равен 54 см. Составим и решим уравнение:

$x + 4x + 4x = 54$

$9x = 54$

$x = \frac{54}{9}$

$x = 6$

Таким образом, длина основания треугольника составляет 6 см.

Теперь найдем длину боковой стороны:

$4x = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Итак, у нас есть основание длиной 6 см и две боковые стороны по 24 см каждая.

Проверим: периметр $P = 6 + 24 + 24 = 54$ см. Условие выполняется.

Ответ: стороны треугольника равны 6 см, 24 см, 24 см.

226. На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ (рис. 163) отметили точки $M, K$ и $D$ так, что $AD = BM = CK$. Докажите, что $\triangle MKD$ – равносторонний.

227. В равнобедренном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ – основание, $\angle BCA = 40^\circ$, $\angle ABC = 100^\circ$, отрезок $BD$ – медиана. Найдите углы треугольника $ABD$.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны.
$\angle BAC = \angle BCA = 40^\circ$.
Угол $\angle BAD$ в треугольнике $ABD$ совпадает с углом $\angle BAC$, следовательно, $\angle BAD = 40^\circ$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой. Отрезок $BD$ является медианой, проведенной к основанию $AC$.

Как биссектриса, $BD$ делит угол $\angle ABC$ пополам:
$\angle ABD = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$.

Как высота, $BD$ перпендикулярна основанию $AC$. Следовательно, угол $\angle BDA$ является прямым:
$\angle BDA = 90^\circ$.

Таким образом, углы треугольника $ABD$ равны $40^\circ$, $50^\circ$ и $90^\circ$.

Ответ: $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$.

227. На продолжениях сторон $AB, BC, AC$ равностороннего треугольника $ABC$ (рис. 164) за точки $A, B$ и $C$ соответственно отложили равные отрезки $AD, BK$ и $CE$. Докажите, что $\Delta DEK$ – равносторонний.

Рис. 164

228. На рисунке 182 $AB = BC$, отрезок $BD$ — медиана треугольника $ABC$, $\angle ABD = 53^\circ$. Найдите углы $ABC$ и $ADE$.

Рис. 182

ABC

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$.
Отрезок $BD$ является медианой, проведенной к основанию $AC$.
Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой.
Так как $BD$ является биссектрисой угла $ABC$, она делит этот угол на два равных угла: $\angle ABD = \angle CBD$.
По условию нам дано, что $\angle ABD = 53^{\circ}$.
Следовательно, угол $ABC$ равен сумме этих двух углов:
$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 2 \cdot \angle ABD$
$\angle ABC = 2 \cdot 53^{\circ} = 106^{\circ}$.

Ответ: 106°.

ADE

Как было сказано выше, в равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BD$, проведенная к основанию $AC$, также является и высотой.
Это означает, что $BD$ перпендикулярна $AC$ ($BD \perp AC$).
Угол, образуемый при пересечении перпендикулярных прямых, равен $90^{\circ}$. Таким образом, $\angle BDA = 90^{\circ}$ и $\angle BDC = 90^{\circ}$.
Прямые $AC$ и $BE$ пересекаются в точке $D$. При этом образуются вертикальные углы. Углы $\angle ADE$ и $\angle BDC$ являются вертикальными.
По свойству вертикальных углов, они равны между собой: $\angle ADE = \angle BDC$.
Поскольку $\angle BDC = 90^{\circ}$, то и $\angle ADE$ также равен $90^{\circ}$.

Ответ: 90°.

228. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а его медиана разбивает данный треугольник на два треугольника так, что периметр одного из них на 6 см меньше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника. Сколько решений имеет задача?

229. На рисунке 183 $MK = KE$, $OE = 6$ см, $\angle MKE = 48^\circ$, $\angle POE = 90^\circ$. Найдите сторону $ME$ и угол $MKO$.

Рис. 183

Сторона ME

Рассмотрим треугольник $MKE$. По условию задачи стороны $MK$ и $KE$ равны ($MK = KE$), следовательно, треугольник $MKE$ является равнобедренным с основанием $ME$.

Из условия известно, что $\angle POE = 90^\circ$. Так как точки $K$, $O$ и $P$ лежат на одной прямой, то отрезок $KO$ перпендикулярен стороне $ME$, а значит, $KO$ является высотой треугольника $MKE$, проведенной из вершины $K$ к основанию $ME$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что точка $O$ делит основание $ME$ на два равных отрезка: $MO = OE$.

По условию $OE = 6$ см, следовательно, $MO = 6$ см.

Длина стороны $ME$ равна сумме длин отрезков $MO$ и $OE$:
$ME = MO + OE = 6 \text{ см} + 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Ответ: $12$ см.

Угол MKO

Как было установлено ранее, в равнобедренном треугольнике $MKE$ отрезок $KO$ является высотой, проведенной к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и биссектрисой угла при вершине.

Следовательно, $KO$ – биссектриса угла $\angle MKE$, и она делит этот угол на два равных угла: $\angle MKO = \angle EKO$.

По условию задачи $\angle MKE = 48^\circ$.

Чтобы найти величину угла $\angle MKO$, нужно разделить величину угла $\angle MKE$ на 2:
$\angle MKO = \frac{1}{2} \angle MKE = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ$.

Ответ: $24^\circ$.

229. На рисунке 165 $a \perp b, \angle 1 = 35^\circ$. Найдите $\angle 2, \angle 3, \angle 4$.

Рис. 163

Рис. 164

Рис. 165

230. На рисунке 184 $AB = BC$, $\angle 1 = 140^\circ$. Найдите угол 2.

Рис. 184

По условию задачи дан треугольник $ABC$ и прямая, проходящая через его основание $AC$. Угол 1 и угол $\angle BAC$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол ($180^\circ$). Чтобы найти внутренний угол треугольника при вершине A, нужно из $180^\circ$ вычесть величину угла 1.

$\angle BAC = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

В условии сказано, что $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а $AC$ — его основание. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Следовательно, $\angle BCA = \angle BAC = 40^\circ$.

Угол 2 является внешним углом треугольника при вершине $C$ и смежным с внутренним углом $\angle BCA$. Их сумма также равна $180^\circ$. Чтобы найти угол 2, нужно из $180^\circ$ вычесть величину угла $\angle BCA$.

$\angle 2 = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Ответ: $140^\circ$

230. Точки $C$ и $D$ разделили отрезок $AB$, длина которого равна $a$, на три отрезка $AC$, $CD$ и $DB$ так, что $AC = 2CD$, $CD = 2DB$. Найдите расстояние между:

1) точкой $A$ и серединой отрезка $CD$;

2) серединами отрезков $AC$ и $DB$.

231. Угол, вертикальный углу при вершине равнобедренного треугольника, равен $68^\circ$. Найдите угол между боковой стороной треугольника и медианой, проведённой к основанию.

Пусть дан равнобедренный треугольник, в котором угол при вершине обозначим как $\alpha$. Угол, вертикальный этому углу, равен ему по свойству вертикальных углов.

Из условия задачи известно, что угол, вертикальный углу при вершине, равен $68^\circ$. Следовательно, угол при вершине самого равнобедренного треугольника также равен $68^\circ$.

$\alpha = 68^\circ$

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.

Это означает, что медиана делит угол при вершине на два равных угла. Угол между боковой стороной и медианой, проведенной к основанию, будет равен половине угла при вершине.

Искомый угол $= \frac{\alpha}{2} = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ$.

Ответ: $34^\circ$.

231. Нарисуйте шестиугольник, который можно одним разрезом разделить на два треугольника.

232. Угол, смежный с углом при вершине равнобедренного треугольника, равен 76°. Найдите угол между боковой стороной треугольника и высотой, опущенной на основание.

Пусть дан равнобедренный треугольник. Обозначим угол при вершине этого треугольника как $\alpha_{в}$. Угол, смежный с ним, по условию равен $76^\circ$.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти угол при вершине треугольника:$\alpha_{в} = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$.

Проведем высоту из вершины треугольника на его основание. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и биссектрисой угла при вершине.

Следовательно, эта высота делит угол при вершине $\alpha_{в}$ на два равных угла. Искомый угол – это угол между боковой стороной и высотой, опущенной на основание. Он равен половине угла при вершине.

Искомый угол = $\frac{\alpha_{в}}{2} = \frac{104^\circ}{2} = 52^\circ$.

Ответ: $52^\circ$.

232. В треугольнике $ABC$ медиана $BK$ перпендикулярна стороне $AC$. Найдите $\angle ABC$, если $\angle ABK = 25^{\circ}$.

233. На рисунке 185 $AB = BC$, $DC = DE$. Докажите, что $\angle A = \angle E$.

Рис. 185

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию задачи дано, что $AB = BC$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle BAC = \angle BCA$.

Далее рассмотрим треугольник $\triangle DCE$. По условию задачи дано, что $DC = DE$. Следовательно, $\triangle DCE$ также является равнобедренным, но с основанием $CE$. Углы при основании этого треугольника также равны, поэтому $\angle DCE = \angle DEC$.

Углы $\angle BCA$ и $\angle DCE$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении двух прямых, $AE$ и $BD$. Согласно свойству вертикальных углов, они равны между собой: $\angle BCA = \angle DCE$.

Теперь мы можем сопоставить все полученные равенства. Обозначим $\angle BAC$ как $\angle A$ и $\angle DEC$ как $\angle E$.
1. Из свойств равнобедренного $\triangle ABC$ мы имеем: $\angle A = \angle BCA$.
2. Из свойства вертикальных углов мы имеем: $\angle BCA = \angle DCE$.
3. Из свойств равнобедренного $\triangle DCE$ мы имеем: $\angle DCE = \angle E$.

Объединяя эти равенства в одну цепочку, получаем: $\angle A = \angle BCA = \angle DCE = \angle E$.
Отсюда напрямую следует, что $\angle A = \angle E$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle A = \angle E$ доказано.

233. Серединный перпендикуляр стороны $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $B$. Найдите $\angle C$, если $\angle A = 17^{\circ}$.

234. Прямая пересекает стороны угла $A$ в точках $B$ и $C$ так, что $AB = AC$ (рис. 186). Докажите, что $\angle1 = \angle2$.

Рис. 186

Рассмотрим треугольник $ABC$, образованный сторонами угла $A$ и пересекающей их прямой.

По условию задачи дано, что $AB = AC$. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. Таким образом, $\angle ABC = \angle ACB$.

Угол $\angle 1$ и угол $\angle ABC$ являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Отсюда можно выразить $\angle 1$:

$\angle 1 = 180^\circ - \angle ABC$

Аналогично, угол $\angle 2$ и угол $\angle ACB$ также являются смежными. Отсюда можно выразить $\angle 2$:

$\angle 2 = 180^\circ - \angle ACB$

Так как мы ранее установили, что $\angle ABC = \angle ACB$, то правые части полученных выражений для $\angle 1$ и $\angle 2$ равны. Следовательно, равны и левые части:

$\angle 1 = \angle 2$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано, так как углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются смежными к равным углам $\angle ABC$ и $\angle ACB$ при основании равнобедренного треугольника $ABC$.

234. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle A = \angle B = 45^\circ$, $CK$ – высота. Найдите сторону $AB$, если $CK = 7 \text{ см.}$