Страница 66 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

199. На рисунке 166 $\Delta ABC = \Delta A_1 B_1 C_1$, $AD = A_1 D_1$. Докажите, что $\Delta ABD = \Delta A_1 B_1 D_1$.

Рис. 166

Для того чтобы доказать, что $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$, рассмотрим эти два треугольника и сравним их элементы, используя данные из условия задачи.

По условию задачи дано, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов:

1. Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, то есть $AB = A_1B_1$.

2. Угол $\angle A$ (или $\angle BAC$) треугольника $\triangle ABC$ равен углу $\angle A_1$ (или $\angle B_1A_1C_1$) треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, то есть $\angle A = \angle A_1$.

Также по условию задачи нам дано, что отрезки $AD$ и $A_1D_1$ равны: $AD = A_1D_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. У них:

- Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$.

- Сторона $AD$ равна стороне $A_1D_1$.

- Угол $\angle BAD$ равен углу $\angle B_1A_1D_1$, поскольку $\angle BAD$ — это тот же угол, что и $\angle A$, а $\angle B_1A_1D_1$ — это тот же угол, что и $\angle A_1$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle ABD$, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle A_1B_1D_1$.

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ доказано. Оно следует из первого признака равенства треугольников, так как: 1) $AB = A_1B_1$ и 2) $\angle A = \angle A_1$ (из равенства $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$), а также 3) $AD = A_1D_1$ (по условию).

199. 1) Найдите периметр равнобедренного треугольника, основание которого равно 13 см, а боковая сторона – 8 см.

2) Периметр равнобедренного треугольника равен 39 см, а основание – 15 см. Найдите боковые стороны треугольника.

200. На рисунке 167 $\triangle ABC = \triangle ADC$. Докажите, что $\triangle ABK = \triangle ADK$.

Рис. 167

Дано: $\triangle ABC = \triangle ADC$, точка $K$ принадлежит отрезку $AC$.

Доказать: $\triangle ABK = \triangle ADK$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle ADK$.

Поскольку по условию $\triangle ABC = \triangle ADC$, то их соответственные элементы (стороны и углы) равны.

Из этого следует, что:

1. $AB = AD$ (как соответственные стороны равных треугольников).

2. $\angle BAC = \angle DAC$ (как соответственные углы равных треугольников).

Так как точка $K$ лежит на отрезке $AC$, то угол $\angle BAC$ и угол $\angle BAK$ — это один и тот же угол. Аналогично, угол $\angle DAC$ и угол $\angle DAK$ — это один и тот же угол. Следовательно, из равенства $\angle BAC = \angle DAC$ вытекает, что $\angle BAK = \angle DAK$.

3. Сторона $AK$ является общей для треугольников $\triangle ABK$ и $\triangle ADK$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABK$ и $\triangle ADK$ мы имеем:

- сторона $AB$ равна стороне $AD$,

- сторона $AK$ является общей,

- угол $\angle BAK$ между сторонами $AB$ и $AK$ равен углу $\angle DAK$ между сторонами $AD$ и $AK$.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABK = \triangle ADK$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABK$ и $\triangle ADK$ доказано.

200. Периметр равнобедренного треугольника равен 28 см, а боковая сторона – 10 см. Найдите основание треугольника.

201. На рисунке 168 $\triangle MKO = \triangle MPO$. Докажите, что $\triangle KOE = \triangle POE$.

Рис. 168

Рассмотрим треугольники $\Delta KOE$ и $\Delta POE$.

По условию задачи дано, что $\Delta MKO = \Delta MPO$. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны и углы равны. Следовательно, мы можем утверждать, что:

• Сторона $KO$ равна стороне $PO$.
• Угол $\angle MOK$ равен углу $\angle MOP$.

Из рисунка видно, что отрезки $ME$ и $KP$ пересекаются в точке $O$. Углы, образованные при пересечении этих отрезков, обладают свойством вертикальных углов.

Углы $\angle POE$ и $\angle MOK$ являются вертикальными, а значит, они равны: $\angle POE = \angle MOK$.

Аналогично, углы $\angle KOE$ и $\angle MOP$ также являются вертикальными, и поэтому $\angle KOE = \angle MOP$.

Так как мы ранее установили, что $\angle MOK = \angle MOP$ (из равенства $\Delta MKO$ и $\Delta MPO$), а также что $\angle POE = \angle MOK$ и $\angle KOE = \angle MOP$, мы можем сделать вывод, что $\angle POE = \angle KOE$.

Теперь сравним треугольники $\Delta KOE$ и $\Delta POE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

1. $KO = PO$ (доказано из условия).
2. $\angle KOE = \angle POE$ (доказано выше).
3. $OE$ — общая сторона для обоих треугольников.

Так как две стороны и угол между ними одного треугольника ($\Delta KOE$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($\Delta POE$), то эти треугольники равны.

Следовательно, $\Delta KOE = \Delta POE$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\Delta KOE$ и $\Delta POE$ доказано.

201. Найдите стороны равнобедренного треугольника, периметр которого равен 32 см, а основание на 5 см больше боковой стороны.

202. На рисунке 169 $BM \perp AD$, $CK \perp AD$, $BM = CK$, $AM = KD$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle ADC$.

Рис. 169

Для доказательства равенства треугольников, указанных в условии, разобьем решение на несколько шагов.

1. Рассмотрение треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle DCK$

Согласно условию задачи, $BM \perp AD$ и $CK \perp AD$. Это означает, что треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle DCK$ являются прямоугольными, где $\angle BMA = 90^\circ$ и $\angle CKD = 90^\circ$.

Также из условия нам известно, что:

• катет $BM$ равен катету $CK$ ($BM = CK$);
• катет $AM$ равен катету $KD$ ($AM = KD$).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, делаем вывод, что $\triangle ABM \cong \triangle DCK$.

Из равенства этих треугольников следует, что их соответствующие элементы также равны:

• гипотенузы $AB = DC$;
• углы $\angle BAM = \angle CDK$.

2. Доказательство равенства $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка в порядке вершин, и требуется доказать равенство $\triangle ABD \cong \triangle DCA$. Докажем это, используя первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Сравним элементы этих треугольников:

1. $AB = DC$ (доказано в предыдущем пункте).
2. $AD$ — общая сторона для обоих треугольников.
3. $\angle BAD = \angle CDA$. Это равенство следует из доказанного выше $\angle BAM = \angle CDK$, так как точки $M$ и $K$ лежат на прямой $AD$, поэтому луч $AM$ совпадает с лучом $AD$, а луч $DK$ совпадает с лучом $DA$.

Так как две стороны и угол между ними треугольника $\triangle ABD$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $\triangle DCA$, то эти треугольники равны.

Следовательно, $\triangle ABD \cong \triangle DCA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

202. Найдите стороны равнобедренного треугольника, периметр которого равен 54 см, а основание в 4 раза меньше боковой стороны.

203. На рисунке 170 $\triangle ABE = \triangle CBD$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CBE$.

Рис. 170

По условию задачи дано, что $\triangle ABE = \triangle CBD$. Из этого равенства следует, что соответствующие стороны и углы этих треугольников равны.

Следовательно, мы имеем следующие равенства:

• $AB = CB$ (как соответствующие стороны равных треугольников)
• $BE = BD$ (как соответствующие стороны равных треугольников)
• $\angle ABE = \angle CBD$ (как соответствующие углы равных треугольников)

Теперь рассмотрим треугольники, равенство которых нам нужно доказать: $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$.

Мы видим, что угол $\angle ABE$ и угол $\angle CBD$ имеют общую часть — угол $\angle DBE$.

Угол $\angle ABE$ можно представить в виде суммы двух углов: $\angle ABE = \angle ABD + \angle DBE$.

Аналогично, угол $\angle CBD$ можно представить как сумму: $\angle CBD = \angle CBE + \angle DBE$.

Так как мы знаем, что $\angle ABE = \angle CBD$, мы можем приравнять их выражения:

$\angle ABD + \angle DBE = \angle CBE + \angle DBE$

Вычитая общий угол $\angle DBE$ из обеих частей равенства, мы получаем:

$\angle ABD = \angle CBE$

Теперь у нас есть все необходимое для доказательства равенства треугольников $ABD$ и $CBE$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними):

• $AB = CB$ (доказано ранее)
• $BD = BE$ (доказано ранее)
• $\angle ABD = \angle CBE$ (угол между соответствующими сторонами, доказано ранее)

Таким образом, треугольник $ABD$ равен треугольнику $CBE$ ($\triangle ABD = \triangle CBE$) по первому признаку равенства треугольников (сторона-угол-сторона).

Ответ: Равенство $\triangle ABD = \triangle CBE$ доказано, так как две стороны и угол между ними одного треугольника ($AB$, $BD$ и $\angle ABD$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($CB$, $BE$ и $\angle CBE$).

203. В равнобедренном треугольнике ABC сторона AC – основание, $\angle BCA = 40^{\circ}$, $\angle ABC = 100^{\circ}$, BD – медиана. Найдите углы треугольника ABD.

204. Докажите, что биссектрисы равных треугольников, проведённые из вершин соответственных углов, равны.

Пусть даны два равных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

Из условия равенства треугольников $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $ следует, что их соответственные стороны и углы равны. В частности, равны стороны, прилегающие к соответственным углам, и сами эти углы.
Например, возьмем соответственные вершины $ B $ и $ B_1 $. Тогда $ AB = A_1B_1 $, $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle B = \angle B_1 $.

Проведём биссектрисы из вершин этих соответственных углов. Пусть $ BD $ — биссектриса угла $ \angle B $ в треугольнике $ \triangle ABC $, а $ B_1D_1 $ — биссектриса угла $ \angle B_1 $ в треугольнике $ \triangle A_1B_1C_1 $. Точка $ D $ лежит на стороне $ AC $, а точка $ D_1 $ — на стороне $ A_1C_1 $.

Требуется доказать, что биссектрисы равны, то есть $ BD = B_1D_1 $.

Для доказательства рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $. Сравним эти треугольники.

1. $ AB = A_1B_1 $ по условию, так как это соответственные стороны в равных треугольниках $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.
2. $ \angle A = \angle A_1 $ по условию, так как это соответственные углы в равных треугольниках.
3. По определению биссектрисы, $ \angle ABD = \frac{1}{2}\angle B $ и $ \angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1 $. Так как $ \angle B = \angle B_1 $, то и половины этих углов равны: $ \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 $.

Таким образом, в треугольниках $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $ сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($ AB = A_1B_1 $, $ \angle A = \angle A_1 $, $ \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 $).

Следовательно, $ \triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1 $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. Сторона $ BD $ в треугольнике $ \triangle ABD $ является соответственной стороне $ B_1D_1 $ в треугольнике $ \triangle A_1B_1D_1 $ (они лежат напротив равных углов $ \angle A $ и $ \angle A_1 $).

Значит, $ BD = B_1D_1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство биссектрис следует из равенства треугольников ($ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $), образованных стороной исходного треугольника, прилежащим к ней углом и половиной другого прилежащего угла. Эти треугольники равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

204. На рисунке 157 $AB = BC$, $BD$ – медиана треугольника $ABC$, $\angle ABD = 53^\circ$. Найдите $\angle ABC$ и $\angle ADE$.

Рис. 157

205. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к соответствующим сторонам, равны.

Пусть даны два равных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Так как по условию $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, то их соответственные стороны и углы равны:
$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$
$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$

Проведём в этих треугольниках медианы к соответственным сторонам $AC$ и $A_1C_1$. Пусть $BM$ — медиана $\triangle ABC$, проведённая к стороне $AC$, а $B_1M_1$ — медиана $\triangle A_1B_1C_1$, проведённая к стороне $A_1C_1$. Требуется доказать, что $BM = B_1M_1$.

По определению, медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC$, а точка $M_1$ — серединой стороны $A_1C_1$. Отсюда следует, что:
$AM = \frac{1}{2}AC$
$A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$

Поскольку из равенства исходных треугольников известно, что $AC = A_1C_1$, то равны и половины этих сторон: $AM = A_1M_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. Сравним их элементы:
- $AB = A_1B_1$ (как соответственные стороны равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$);
- $AM = A_1M_1$ (как было доказано выше);
- $\angle A = \angle A_1$ (как соответственные углы равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$).

Таким образом, $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

В равных треугольниках соответственные стороны равны. Сторона $BM$ в $\triangle ABM$ лежит напротив угла $A$. Сторона $B_1M_1$ в $\triangle A_1B_1M_1$ лежит напротив угла $A_1$. Так как $\angle A = \angle A_1$, то стороны $BM$ и $B_1M_1$ являются соответственными, а значит, они равны: $BM = B_1M_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

205. На рисунке 158 $MK = KE$, $OE = 6$ см, $\angle MKE = 48^\circ$, $\angle POE = 90^\circ$. Найдите сторону $ME$ и угол $MKO$.

Рис. 158

206. На продолжении медианы $AM$ треугольника $ABC$ за точку $M$ отложен отрезок $MK$, равный $AM$. Найдите расстояние от точки $K$ до вершины $C$, если $AB = 6$ см.

Рассмотрим треугольники $ \triangle AMB $ и $ \triangle KMC $.

По условию задачи, $ AM $ является медианой треугольника $ ABC $. Это означает, что точка $ M $ делит сторону $ BC $ пополам, то есть $ BM = MC $.

Также по условию, на продолжении медианы $ AM $ отложен отрезок $ MK $, равный $ AM $. Таким образом, $ AM = MK $.

Углы $ \angle AMB $ и $ \angle KMC $ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $ AK $ и $ BC $. Согласно свойству вертикальных углов, они равны: $ \angle AMB = \angle KMC $.

Сравним треугольники $ \triangle AMB $ и $ \triangle KMC $. У них:

• $ AM = MK $ (по условию)
• $ BM = MC $ (так как $AM$ — медиана)
• $ \angle AMB = \angle KMC $ (как вертикальные углы)

Следовательно, треугольники $ \triangle AMB $ и $ \triangle KMC $ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

В равных треугольниках соответственные стороны равны. Сторона $ KC $ в треугольнике $ \triangle KMC $ является соответственной стороне $ AB $ в треугольнике $ \triangle AMB $, так как они лежат напротив равных углов ($ \angle KMC $ и $ \angle AMB $ соответственно). Поэтому $ KC = AB $.

Из условия известно, что $ AB = 6 $ см. Значит, искомое расстояние от точки $ K $ до вершины $ C $, то есть длина отрезка $ KC $, равно 6 см.

Ответ: 6 см.

206. На рисунке 159 $AB = BC$, $\angle 1 = 140^\circ$. Найдите $\angle 2$.

Рис. 157

Рис. 158

Рис. 159

207. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся точкой пересечения пополам. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle BAD$.

Рис. 171

Для доказательства равенства треугольников $ΔABC$ и $ΔBAD$ воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Сначала рассмотрим треугольники $ΔAOD$ и $ΔBOC$, которые образовались при пересечении отрезков $AB$ и $CD$.

• $AO = OB$ (по условию, так как точка $O$ делит отрезок $AB$ пополам).
• $DO = OC$ (по условию, так как точка $O$ делит отрезок $CD$ пополам).
• $∠AOD = ∠BOC$ (так как эти углы являются вертикальными).

Следовательно, $ΔAOD = ΔBOC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $ΔAOD$ и $ΔBOC$ следует равенство их соответственных сторон и углов:

• $AD = BC$
• $∠OAD = ∠OBC$, что то же самое, что $∠DAB = ∠CBA$

Теперь рассмотрим треугольники $ΔABC$ и $ΔBAD$. В них:

• $AB$ — общая сторона.
• $BC = AD$ (доказано выше).
• $∠CBA = ∠DAB$ (доказано выше).

Таким образом, $ΔABC = ΔBAD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ΔABC$ и $ΔBAD$ доказано.

207. Угол, вертикальный углу при вершине равнобедренного треугольника, равен $68^\circ$. Найдите угол между боковой стороной треугольника и медианой, проведённой к основанию.

208. На рисунке 171 прямые $m$ и $n$ – серединные перпендикуляры сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Докажите, что точка $O$ равноудалена от всех вершин данного треугольника.

Для доказательства воспользуемся свойством серединного перпендикуляра к отрезку: любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов этого отрезка.

1. По условию задачи, прямая $m$ является серединным перпендикуляром к стороне $AB$. Точка $O$ принадлежит прямой $m$ (так как является точкой пересечения прямых $m$ и $n$). Согласно свойству серединного перпендикуляра, точка $O$ равноудалена от вершин $A$ и $B$. Следовательно, $OA = OB$.

2. Аналогично, по условию, прямая $n$ является серединным перпендикуляром к стороне $AC$. Точка $O$ также принадлежит прямой $n$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от вершин $A$ и $C$. Таким образом, $OA = OC$.

3. Из двух полученных равенств $OA = OB$ и $OA = OC$ следует, что все три расстояния от точки $O$ до вершин треугольника равны между собой: $OA = OB = OC$.

Это доказывает, что точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано. Так как точка $О$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$, то $OA=OB$. Так как точка $О$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$, то $OA=OC$. Следовательно, $OA=OB=OC$, что означает, что точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника.

208. Угол, смежный с углом при вершине равнобедренного треугольника, равен $76^\circ$. Найдите угол между боковой стороной треугольника и высотой, опущенной на основание.