Номер 204, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 204, страница 66.

204. Докажите, что биссектрисы равных треугольников, проведённые из вершин соответственных углов, равны.

Пусть даны два равных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

Из условия равенства треугольников $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $ следует, что их соответственные стороны и углы равны. В частности, равны стороны, прилегающие к соответственным углам, и сами эти углы.
Например, возьмем соответственные вершины $ B $ и $ B_1 $. Тогда $ AB = A_1B_1 $, $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle B = \angle B_1 $.

Проведём биссектрисы из вершин этих соответственных углов. Пусть $ BD $ — биссектриса угла $ \angle B $ в треугольнике $ \triangle ABC $, а $ B_1D_1 $ — биссектриса угла $ \angle B_1 $ в треугольнике $ \triangle A_1B_1C_1 $. Точка $ D $ лежит на стороне $ AC $, а точка $ D_1 $ — на стороне $ A_1C_1 $.

Требуется доказать, что биссектрисы равны, то есть $ BD = B_1D_1 $.

Для доказательства рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $. Сравним эти треугольники.

1. $ AB = A_1B_1 $ по условию, так как это соответственные стороны в равных треугольниках $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.
2. $ \angle A = \angle A_1 $ по условию, так как это соответственные углы в равных треугольниках.
3. По определению биссектрисы, $ \angle ABD = \frac{1}{2}\angle B $ и $ \angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1 $. Так как $ \angle B = \angle B_1 $, то и половины этих углов равны: $ \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 $.

Таким образом, в треугольниках $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $ сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($ AB = A_1B_1 $, $ \angle A = \angle A_1 $, $ \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 $).

Следовательно, $ \triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1 $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. Сторона $ BD $ в треугольнике $ \triangle ABD $ является соответственной стороне $ B_1D_1 $ в треугольнике $ \triangle A_1B_1D_1 $ (они лежат напротив равных углов $ \angle A $ и $ \angle A_1 $).

Значит, $ BD = B_1D_1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство биссектрис следует из равенства треугольников ($ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $), образованных стороной исходного треугольника, прилежащим к ней углом и половиной другого прилежащего угла. Эти треугольники равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

204. На рисунке 157 $AB = BC$, $BD$ – медиана треугольника $ABC$, $\angle ABD = 53^\circ$. Найдите $\angle ABC$ и $\angle ADE$.

Рис. 157