Номер 210, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 210, страница 67.

210. Докажите равенство двух треугольников по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

Для доказательства равенства двух треугольников по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе этого угла, рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Пусть $AL$ — биссектриса угла $\angle A$ в $\triangle ABC$ ($L$ лежит на стороне $BC$), а $A_1L_1$ — биссектриса угла $\angle A_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$ ($L_1$ лежит на стороне $B_1C_1$).

Согласно условию задачи, нам дано:

1. Равенство сторон: $AC = A_1C_1$.
2. Равенство прилежащих к этим сторонам углов: $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.
3. Равенство биссектрис, проведенных из вершин этих углов: $AL = A_1L_1$.

Необходимо доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ALC$ и $\triangle A_1L_1C_1$. В этих треугольниках:

• $AC = A_1C_1$ (по условию).
• $AL = A_1L_1$ (по условию).
• Поскольку $AL$ и $A_1L_1$ являются биссектрисами равных углов $\angle BAC$ и $\angle B_1A_1C_1$, они делят эти углы на равные половины. Следовательно, $\angle CAL = \frac{1}{2}\angle BAC$ и $\angle C_1A_1L_1 = \frac{1}{2}\angle B_1A_1C_1$, из чего следует, что $\angle CAL = \angle C_1A_1L_1$.

Таким образом, $\triangle ALC = \triangle A_1L_1C_1$ по двум сторонам ($AC$ и $AL$) и углу между ними ($\angle CAL$), то есть по первому признаку равенства треугольников.

2. Из равенства треугольников $\triangle ALC$ и $\triangle A_1L_1C_1$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их углы: $\angle C = \angle C_1$.

3. Теперь вернемся к исходным треугольникам $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы имеем:

• $AC = A_1C_1$ (по условию).
• $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (по условию).
• $\angle C = \angle C_1$ (как было доказано в предыдущем пункте).

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по стороне ($AC$) и двум прилежащим к ней углам ($\angle BAC$ и $\angle C$), то есть по второму признаку равенства треугольников.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников доказано на основании второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), для чего предварительно было доказано равенство вспомогательных треугольников по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

210. Прямая пересекает стороны угла A в точках B и C так, что $AB = AC$ (рис. 161). Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.

Рис. 161