Номер 214, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 214, страница 67.

214. На рисунке 172 $OA = OD$. Добавьте ещё одно условие так, чтобы треугольники $AOC$ и $DOB$ оказались равными:

1) по первому признаку равенства треугольников;

2) по второму признаку равенства треугольников.

Рис. 172

Рассмотрим треугольники $AOC$ и $DOB$. По условию задачи нам дано, что $OA = OD$. Также, углы $\angle AOC$ и $\angle DOB$ равны, так как они являются вертикальными углами.

1) по первому признаку равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) гласит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

В нашем случае, чтобы применить этот признак, мы должны иметь равенство двух сторон и угла, заключенного между ними. У нас уже есть:

• Равенство одной пары сторон: $OA = OD$.
• Равенство углов между сторонами: $\angle AOC = \angle DOB$.

Угол $\angle AOC$ образован сторонами $OA$ и $OC$. Угол $\angle DOB$ образован сторонами $OD$ и $OB$. Следовательно, для выполнения первого признака равенства не хватает равенства второй пары сторон: $OC$ и $OB$.

Таким образом, добавив условие $OC = OB$, мы сможем утверждать, что $\triangle AOC = \triangle DOB$ по первому признаку (две стороны и угол между ними).

Ответ: необходимо добавить условие $OC = OB$.

2) по второму признаку равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) гласит: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

У нас есть равенство сторон $OA = OD$. Чтобы применить второй признак, нам нужно равенство углов, прилежащих к этим сторонам.

• К стороне $OA$ в $\triangle AOC$ прилежат углы $\angle OAC$ и $\angle AOC$.
• К стороне $OD$ в $\triangle DOB$ прилежат углы $\angle ODB$ и $\angle DOB$.

Мы уже знаем, что одна пара прилежащих углов равна: $\angle AOC = \angle DOB$ (как вертикальные). Для выполнения второго признака необходимо, чтобы была равна и вторая пара прилежащих углов, то есть $\angle OAC = \angle ODB$.

Таким образом, добавив условие $\angle OAC = \angle ODB$, мы сможем утверждать, что $\triangle AOC = \triangle DOB$ по второму признаку (сторона и два прилежащих к ней угла).

Ответ: необходимо добавить условие $\angle OAC = \angle ODB$.

214. Используя признаки равенства треугольников, докажите признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при вершине.