Номер 215, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 215, страница 67.

215. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. На отрезке $AC$ отмечена точка $M$, а на отрезке $BD$ – точка $K$ так, что $AM = BK$. Докажите, что:

1) $OM = OK$;

2) точки $M$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой.

1) Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOD$. По условию, отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Это означает, что $AO = OB$ и $CO = OD$. Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ равны как вертикальные углы. Следовательно, треугольники $AOC$ и $BOD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников $\triangle AOC \cong \triangle BOD$ следует равенство их соответствующих сторон и углов: $AC = BD$ и $\angle OAC = \angle OBD$. Теперь рассмотрим треугольники $AOM$ и $BOK$. У нас есть:

• $AO = BO$ (по условию).
• $AM = BK$ (по условию).
• $\angle OAM = \angle OBK$ (так как это те же углы, что и $\angle OAC$ и $\angle OBD$, равенство которых мы доказали выше).

Следовательно, треугольники $AOM$ и $BOK$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников $\triangle AOM \cong \triangle BOK$ следует равенство их соответствующих сторон. Таким образом, $OM = OK$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $OM = OK$ доказано.

2) Из доказанного в пункте 1 равенства треугольников $\triangle AOM \cong \triangle BOK$ следует также равенство соответственных углов: $\angle AOM = \angle BOK$. Точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой, так как $AB$ — это отрезок. Это означает, что угол $\angle AOB$ является развернутым и его величина составляет $180^\circ$. Угол $\angle AOB$ можно представить как сумму двух смежных углов: $\angle AOM + \angle MOB = 180^\circ$. Рассмотрим угол $\angle MOK$. Он состоит из суммы углов $\angle MOB$ и $\angle BOK$. То есть, $\angle MOK = \angle MOB + \angle BOK$. Заменим в этом выражении угол $\angle BOK$ на равный ему угол $\angle AOM$ (из доказательства в пункте 1): $\angle MOK = \angle MOB + \angle AOM$. Так как мы уже установили, что $\angle AOM + \angle MOB = 180^\circ$, то и $\angle MOK = 180^\circ$. Развернутый угол означает, что его стороны являются дополнительными лучами. Следовательно, точки $M$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что точки $M$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой.

215. Используя признаки равенства треугольников, докажите признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и прилежащему к нему углу.