Номер 209, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 209, страница 67.

209. Докажите равенство двух треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углу между этой стороной и медианой.

Дано:

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
$BM$ – медиана к стороне $AC$ в $\triangle ABC$.
$B_1M_1$ – медиана к стороне $A_1C_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$.
Известно, что:
1) Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ ($AC = A_1C_1$).
2) Медиана $BM$ равна медиане $B_1M_1$ ($BM = B_1M_1$).
3) Угол между стороной $AC$ и медианой $BM$ равен соответствующему углу в другом треугольнике. Пусть это будет угол $\angle BMC$, тогда $\angle BMC = \angle B_1M_1C_1$.

Доказать:

$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, а точка $M_1$ – серединой стороны $A_1C_1$. Это означает, что $MC = \frac{1}{2} AC$ и $M_1C_1 = \frac{1}{2} A_1C_1$.

2. Так как по условию $AC = A_1C_1$, то и половины этих сторон равны: $MC = M_1C_1$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle B_1M_1C_1$. В них:
- $BM = B_1M_1$ (по условию),
- $MC = M_1C_1$ (доказано в п. 2),
- $\angle BMC = \angle B_1M_1C_1$ (по условию).
Следовательно, $\triangle BMC \cong \triangle B_1M_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников $\triangle BMC$ и $\triangle B_1M_1C_1$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности:
- $BC = B_1C_1$,
- $\angle C = \angle C_1$.

5. Теперь вернемся к исходным треугольникам $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Сравним их элементы:
- $AC = A_1C_1$ (по условию),
- $BC = B_1C_1$ (доказано в п. 4),
- $\angle C = \angle C_1$ (доказано в п. 4).
Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников доказано.

209. На рисунке 160 $AB = BC$, $DC = DE$. Докажите, что $\angle A = \angle E$.

Рис. 160