Номер 205, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 205, страница 66.

205. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к соответствующим сторонам, равны.

Пусть даны два равных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Так как по условию $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, то их соответственные стороны и углы равны:
$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$
$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$

Проведём в этих треугольниках медианы к соответственным сторонам $AC$ и $A_1C_1$. Пусть $BM$ — медиана $\triangle ABC$, проведённая к стороне $AC$, а $B_1M_1$ — медиана $\triangle A_1B_1C_1$, проведённая к стороне $A_1C_1$. Требуется доказать, что $BM = B_1M_1$.

По определению, медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC$, а точка $M_1$ — серединой стороны $A_1C_1$. Отсюда следует, что:
$AM = \frac{1}{2}AC$
$A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$

Поскольку из равенства исходных треугольников известно, что $AC = A_1C_1$, то равны и половины этих сторон: $AM = A_1M_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. Сравним их элементы:
- $AB = A_1B_1$ (как соответственные стороны равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$);
- $AM = A_1M_1$ (как было доказано выше);
- $\angle A = \angle A_1$ (как соответственные углы равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$).

Таким образом, $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

В равных треугольниках соответственные стороны равны. Сторона $BM$ в $\triangle ABM$ лежит напротив угла $A$. Сторона $B_1M_1$ в $\triangle A_1B_1M_1$ лежит напротив угла $A_1$. Так как $\angle A = \angle A_1$, то стороны $BM$ и $B_1M_1$ являются соответственными, а значит, они равны: $BM = B_1M_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

205. На рисунке 158 $MK = KE$, $OE = 6$ см, $\angle MKE = 48^\circ$, $\angle POE = 90^\circ$. Найдите сторону $ME$ и угол $MKO$.

Рис. 158