Номер 199, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 199, страница 66.

199. На рисунке 166 $\Delta ABC = \Delta A_1 B_1 C_1$, $AD = A_1 D_1$. Докажите, что $\Delta ABD = \Delta A_1 B_1 D_1$.

Рис. 166

Для того чтобы доказать, что $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$, рассмотрим эти два треугольника и сравним их элементы, используя данные из условия задачи.

По условию задачи дано, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов:

1. Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, то есть $AB = A_1B_1$.

2. Угол $\angle A$ (или $\angle BAC$) треугольника $\triangle ABC$ равен углу $\angle A_1$ (или $\angle B_1A_1C_1$) треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, то есть $\angle A = \angle A_1$.

Также по условию задачи нам дано, что отрезки $AD$ и $A_1D_1$ равны: $AD = A_1D_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. У них:

- Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$.

- Сторона $AD$ равна стороне $A_1D_1$.

- Угол $\angle BAD$ равен углу $\angle B_1A_1D_1$, поскольку $\angle BAD$ — это тот же угол, что и $\angle A$, а $\angle B_1A_1D_1$ — это тот же угол, что и $\angle A_1$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle ABD$, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle A_1B_1D_1$.

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ доказано. Оно следует из первого признака равенства треугольников, так как: 1) $AB = A_1B_1$ и 2) $\angle A = \angle A_1$ (из равенства $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$), а также 3) $AD = A_1D_1$ (по условию).

199. 1) Найдите периметр равнобедренного треугольника, основание которого равно 13 см, а боковая сторона – 8 см.

2) Периметр равнобедренного треугольника равен 39 см, а основание – 15 см. Найдите боковые стороны треугольника.