Номер 197, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 197, страница 65.

197. Через точку M, принадлежащую биссектрисе угла с вершиной в точке O, провели прямую, перпендикулярную биссектрисе. Эта прямая пересекает стороны данного угла в точках A и B. Докажите, что $AM = MB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BOM$. Чтобы доказать, что $AM = MB$, докажем равенство этих треугольников.

Сравним треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BOM$:

1. Сторона $OM$ является общей для обоих треугольников.

2. Углы $\angle AOM$ и $\angle BOM$ равны, так как по условию луч, содержащий отрезок $OM$, является биссектрисой угла с вершиной $O$.

3. Прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, по условию перпендикулярна биссектрисе в точке $M$. Следовательно, углы, образованные при их пересечении, являются прямыми: $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle AOM$ равен треугольнику $\triangle BOM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Поскольку треугольники равны, то их соответственные стороны также равны. Сторона $AM$ в $\triangle AOM$ соответствует стороне $MB$ в $\triangle BOM$. Следовательно, $AM = MB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $AM = MB$ следует из равенства треугольников $\triangle AOM$ и $\triangle BOM$, которое доказывается по второму признаку равенства треугольников (общая сторона $OM$ и два равных прилежащих к ней угла: $\angle AOM = \angle BOM$ и $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$).

197. Начертите:

1) разносторонний прямоугольный треугольник;

2) разносторонний тупоугольный треугольник.