Номер 194, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 194, страница 65.

194. Из точек $A$ и $B$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $a$ и на одинаковом расстоянии от неё, опущены на эту прямую перпендикуляры $AC$ и $BD$. Найдите угол $\angle BCD$, если $\angle ADC = 25^\circ$.

Решение:

По условию задачи, из точек A и B опущены перпендикуляры AC и BD на прямую a. Это означает, что $AC \perp a$ и $BD \perp a$. Из этого следует несколько фактов:

1. Прямые AC и BD параллельны друг другу, так как они обе перпендикулярны одной и той же прямой a. То есть, $AC \parallel BD$.
2. Углы, образованные этими перпендикулярами с прямой a, являются прямыми: $\angle ACD = 90^\circ$ и $\angle BDC = 90^\circ$.

Также по условию дано, что точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от прямой a. Длина перпендикуляра и есть расстояние от точки до прямой, следовательно, длины отрезков AC и BD равны: $AC = BD$.

Рассмотрим четырехугольник ACDB. Мы установили, что его противоположные стороны AC и BD параллельны ($AC \parallel BD$) и равны по длине ($AC = BD$). Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Более того, так как один из углов этого параллелограмма прямой ($\angle ACD = 90^\circ$), то параллелограмм ACDB является прямоугольником.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$. Сравним их:

• Катет $AC$ треугольника $\triangle ADC$ равен катету $BD$ треугольника $\triangle BCD$ (по условию).
• Катет $CD$ является общим для обоих треугольников.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$ равны по двум катетам (что является частным случаем признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, так как угол между катетами всегда $90^\circ$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Углу $\angle ADC$ в треугольнике $\triangle ADC$ соответствует угол $\angle BCD$ в треугольнике $\triangle BCD$.

Таким образом, $\angle BCD = \angle ADC$.

Поскольку по условию $\angle ADC = 25^\circ$, то и $\angle BCD = 25^\circ$.

Ответ: $25^\circ$.

194. Лучи $OD$ и $OF$ – биссектрисы смежных углов $AOB$ и $BOC$ соответственно, $\angle AOD : \angle FOC = 2 : 7$. Найдите $\angle AOD$ и $\angle FOC$.