Номер 188, страница 64 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 188, страница 64.

188. На рисунке 159 $AB \perp BD$, $CD \perp BD$, точка $O$ – середина отрезка $BD$.

Докажите, что $\triangle ABO = \triangle CDO$.

Рис. 159

Для доказательства равенства треугольников $ \triangle ABO $ и $ \triangle CDO $ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Рассмотрим эти два треугольника и сравним их элементы.

1. Согласно условию, $ AB \perp BD $ (AB перпендикулярно BD), что означает $ \angle ABO = 90^\circ $. Аналогично, $ CD \perp BD $, что означает $ \angle CDO = 90^\circ $. Таким образом, мы можем утверждать, что $ \angle ABO = \angle CDO $.

2. По условию, точка $ O $ является серединой отрезка $ BD $. По определению середины отрезка, это означает, что $ BO = DO $.

3. Углы $ \angle AOB $ и $ \angle COD $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении двух прямых (в данном случае, отрезков $ AC $ и $ BD $). По свойству вертикальных углов, они всегда равны: $ \angle AOB = \angle COD $.

Итак, мы установили, что в треугольниках $ \triangle ABO $ и $ \triangle CDO $ есть соответственно равные сторона и два прилежащих к ней угла:
- Сторона $ BO $ в $ \triangle ABO $ равна стороне $ DO $ в $ \triangle CDO $.
- Угол $ \angle ABO $, прилежащий к стороне $ BO $, равен углу $ \angle CDO $, прилежащему к стороне $ DO $.
- Угол $ \angle AOB $, также прилежащий к стороне $ BO $, равен углу $ \angle COD $, прилежащему к стороне $ DO $.

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то по второму признаку равенства треугольников $ \triangle ABO = \triangle CDO $.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle ABO = \triangle CDO $ доказано.

188. Серединный перпендикуляр стороны $BC$ треугольника $ABC$ пересекает его сторону $AB$ в точке $D$. Найдите длину отрезка $AD$, если $CD=4$ см, $AB=7$ см.