Номер 187, страница 64 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 187, страница 64.

187. Дано: $\angle ADC = \angle ADB$, $BD = CD$ (рис. 158). Докажите, что $AB = AC$.

Рис. 158

Для доказательства равенства сторон $AB$ и $AC$ рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$, образованные отрезком $AD$.

Сравним эти треугольники по известным нам элементам:

1. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников ($\triangle ABD$ и $\triangle ACD$).
2. Стороны $BD$ и $CD$ равны по условию задачи ($BD = CD$).
3. Углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$ равны по условию задачи ($\angle ADB = \angle ADC$). Эти углы являются углами между сторонами $AD$, $BD$ и $AD$, $CD$ соответственно.

Таким образом, мы видим, что две стороны и угол между ними одного треугольника ($\triangle ABD$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($\triangle ACD$).

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равны.

$\triangle ABD \cong \triangle ACD$

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle ADB$, а сторона $AC$ лежит напротив угла $\angle ADC$. Поскольку $\angle ADB = \angle ADC$, то и соответствующие им стороны $AB$ и $AC$ также равны.

Следовательно, $AB = AC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AB = AC$ доказано, так как треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

187. Докажите равенство двух треугольников по биссектрисе, углу, из вершины которого проведена эта биссектриса, и углу, образованному биссектрисой со стороной, к которой она проведена.