Номер 180, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 180, страница 63.

180. Равны ли треугольники, изображённые на рисунке 151? В случае утвердительного ответа укажите, по какому признаку равенства треугольников они равны.

Рис. 151

а

4 см, $100^\circ$, 2 см

2 см, $100^\circ$, 4 см

б

$40^\circ$, 3 см, $90^\circ$

3 см, $40^\circ$, $90^\circ$

а)

Рассмотрим два треугольника, изображенные на рисунке «а».

В первом треугольнике даны две стороны (4 см и 2 см) и угол между ними, равный $100°$.

Во втором треугольнике также даны две стороны (4 см и 2 см) и угол $100°$. Однако этот угол не является углом между данными сторонами. Угол $100°$ прилежит к стороне длиной 4 см, а сторона длиной 2 см лежит напротив этого угла.

Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников) в данном случае неприменим, так как во втором треугольнике угол $100°$ не находится между известными сторонами.

Более того, второй треугольник, изображенный на рисунке, не может существовать. В любом треугольнике против большего угла должна лежать большая сторона. Угол $100°$ является тупым, а значит, самым большим углом в треугольнике (так как сумма всех углов равна $180°$). Следовательно, противолежащая ему сторона должна быть самой длинной. Однако в этом треугольнике сторона напротив угла $100°$ равна 2 см, в то время как другая известная сторона равна 4 см. Это приводит к противоречию, так как $2 \text{ см} < 4 \text{ см}$.

Поскольку второй треугольник не может существовать, данные треугольники не могут быть равны.

Ответ: треугольники не равны.

б)

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, изображенных на рисунке «б».

В первом треугольнике известен катет, равный 3 см, и прилежащий к нему острый угол $40°$. Второй острый угол в этом треугольнике равен $180° - 90° - 40° = 50°$.

Во втором треугольнике известен катет, равный 3 см, и противолежащий ему острый угол $40°$. Второй острый угол в этом треугольнике также равен $180° - 90° - 40° = 50°$.

Для того чтобы треугольники были равны, их соответствующие элементы (стороны и углы) должны быть равны. Сравним стороны данных треугольников.

В первом треугольнике катет, прилежащий к углу $40°$ (и противолежащий углу $50°$), равен 3 см. Другой катет, противолежащий углу $40°$, будет равен $3 \cdot \tan(40°)$ см.

Во втором треугольнике катет, противолежащий углу $40°$, равен 3 см. Другой катет, прилежащий к углу $40°$ (и противолежащий углу $50°$), будет равен $\frac{3}{\tan(40°)}$ см.

Сравним соответствующие катеты. Катет, противолежащий углу $50°$, в первом треугольнике равен 3 см, а во втором — $\frac{3}{\tan(40°)}$ см. Так как $\tan(40°) \approx 0.839$, то $\tan(40°) \neq 1$, а значит, и $3 \neq \frac{3}{\tan(40°)}$.

Поскольку соответствующие стороны треугольников не равны, то и сами треугольники не равны. Признаки равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему/противолежащему острому углу) здесь не выполняются, так как в первом треугольнике дан катет и прилежащий острый угол, а во втором — катет и противолежащий острый угол, что приводит к построению разных треугольников.

Ответ: треугольники не равны.

180. На продолжении медианы $AM$ треугольника $ABC$ за точку $M$ отложен отрезок $MK$, равный $AM$. Найдите расстояние от точки $K$ до вершины $C$, если $AB = 6$ см.