Страница 63 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

179. Перерисуйте в тетрадь рисунок 150. С помощью угольника и линейки найдите точку, равноудалённую от точек $A$ и $B$, а также от точек $C$ и $D$.

Рис. 150

Чтобы найти точку, которая равноудалена от точек A и B, а также от точек C и D, необходимо найти точку пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AB и CD. Это следует из того, что геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Решение задачи с помощью угольника и линейки состоит из следующих шагов:

1. Построение серединного перпендикуляра к отрезку AB
С помощью линейки соединяем точки A и B. Находим середину отрезка AB. Это можно сделать, измерив его длину линейкой и отметив половину, или определив координаты по клеткам. Если принять левый нижний узел сетки за начало координат (0,0), то точка A будет иметь координаты (0, 1), а точка B — (3, 3). Середина отрезка AB, точка $M_1$, будет иметь координаты:
$M_1 = (\frac{0+3}{2}; \frac{1+3}{2}) = (1.5; 2)$.
Далее, с помощью угольника строим прямую, проходящую через точку $M_1$ и перпендикулярную отрезку AB. Эта прямая $l_1$ и есть серединный перпендикуляр.

2. Построение серединного перпендикуляра к отрезку CD
Аналогично, соединяем точки C и D. В той же системе координат точка C имеет координаты (4, 2), а точка D — (7, 0). Находим середину отрезка CD, точку $M_2$:
$M_2 = (\frac{4+7}{2}; \frac{2+0}{2}) = (5.5; 1)$.
Через точку $M_2$ с помощью угольника проводим прямую $l_2$, перпендикулярную отрезку CD.

3. Нахождение искомой точки
Искомая точка P — это точка пересечения построенных серединных перпендикуляров $l_1$ и $l_2$. При точном построении на бумаге мы найдем ее графически.

Для проверки и нахождения точных координат выполним аналитический расчет.
Найдем уравнение прямой $l_1$. Угловой коэффициент отрезка AB равен $k_{AB} = \frac{3-1}{3-0} = \frac{2}{3}$. Угловой коэффициент перпендикуляра $l_1$ будет $k_1 = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{3}{2}$. Уравнение прямой, проходящей через $M_1(1.5; 2)$: $y - 2 = -\frac{3}{2}(x - 1.5) \Rightarrow y = -1.5x + 4.25$.
Найдем уравнение прямой $l_2$. Угловой коэффициент отрезка CD равен $k_{CD} = \frac{0-2}{7-4} = -\frac{2}{3}$. Угловой коэффициент перпендикуляра $l_2$ будет $k_2 = -\frac{1}{k_{CD}} = \frac{3}{2}$. Уравнение прямой, проходящей через $M_2(5.5; 1)$: $y - 1 = \frac{3}{2}(x - 5.5) \Rightarrow y = 1.5x - 7.25$.
Теперь найдем точку пересечения P, решив систему уравнений:
$\begin{cases} y = -1.5x + 4.25 \\ y = 1.5x - 7.25 \end{cases}$
$-1.5x + 4.25 = 1.5x - 7.25 \Rightarrow 3x = 11.5 \Rightarrow x = \frac{11.5}{3} = \frac{23}{6}$.
$y = 1.5 \cdot (\frac{23}{6}) - 7.25 = \frac{3}{2} \cdot \frac{23}{6} - \frac{29}{4} = \frac{23}{4} - \frac{29}{4} = -\frac{6}{4} = -1.5$.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AB и CD. Для ее нахождения необходимо построить эти перпендикуляры с помощью линейки и угольника, как описано выше. Точные координаты этой точки $P(\frac{23}{6}, -1.5)$.

179. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к соответственным сторонам, равны.

180. Равны ли треугольники, изображённые на рисунке 151? В случае утвердительного ответа укажите, по какому признаку равенства треугольников они равны.

Рис. 151

а

4 см, $100^\circ$, 2 см

2 см, $100^\circ$, 4 см

б

$40^\circ$, 3 см, $90^\circ$

3 см, $40^\circ$, $90^\circ$

а)

Рассмотрим два треугольника, изображенные на рисунке «а».

В первом треугольнике даны две стороны (4 см и 2 см) и угол между ними, равный $100°$.

Во втором треугольнике также даны две стороны (4 см и 2 см) и угол $100°$. Однако этот угол не является углом между данными сторонами. Угол $100°$ прилежит к стороне длиной 4 см, а сторона длиной 2 см лежит напротив этого угла.

Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников) в данном случае неприменим, так как во втором треугольнике угол $100°$ не находится между известными сторонами.

Более того, второй треугольник, изображенный на рисунке, не может существовать. В любом треугольнике против большего угла должна лежать большая сторона. Угол $100°$ является тупым, а значит, самым большим углом в треугольнике (так как сумма всех углов равна $180°$). Следовательно, противолежащая ему сторона должна быть самой длинной. Однако в этом треугольнике сторона напротив угла $100°$ равна 2 см, в то время как другая известная сторона равна 4 см. Это приводит к противоречию, так как $2 \text{ см} < 4 \text{ см}$.

Поскольку второй треугольник не может существовать, данные треугольники не могут быть равны.

Ответ: треугольники не равны.

б)

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, изображенных на рисунке «б».

В первом треугольнике известен катет, равный 3 см, и прилежащий к нему острый угол $40°$. Второй острый угол в этом треугольнике равен $180° - 90° - 40° = 50°$.

Во втором треугольнике известен катет, равный 3 см, и противолежащий ему острый угол $40°$. Второй острый угол в этом треугольнике также равен $180° - 90° - 40° = 50°$.

Для того чтобы треугольники были равны, их соответствующие элементы (стороны и углы) должны быть равны. Сравним стороны данных треугольников.

В первом треугольнике катет, прилежащий к углу $40°$ (и противолежащий углу $50°$), равен 3 см. Другой катет, противолежащий углу $40°$, будет равен $3 \cdot \tan(40°)$ см.

Во втором треугольнике катет, противолежащий углу $40°$, равен 3 см. Другой катет, прилежащий к углу $40°$ (и противолежащий углу $50°$), будет равен $\frac{3}{\tan(40°)}$ см.

Сравним соответствующие катеты. Катет, противолежащий углу $50°$, в первом треугольнике равен 3 см, а во втором — $\frac{3}{\tan(40°)}$ см. Так как $\tan(40°) \approx 0.839$, то $\tan(40°) \neq 1$, а значит, и $3 \neq \frac{3}{\tan(40°)}$.

Поскольку соответствующие стороны треугольников не равны, то и сами треугольники не равны. Признаки равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему/противолежащему острому углу) здесь не выполняются, так как в первом треугольнике дан катет и прилежащий острый угол, а во втором — катет и противолежащий острый угол, что приводит к построению разных треугольников.

Ответ: треугольники не равны.

180. На продолжении медианы $AM$ треугольника $ABC$ за точку $M$ отложен отрезок $MK$, равный $AM$. Найдите расстояние от точки $K$ до вершины $C$, если $AB = 6$ см.

181. На рисунке 152 $AC = DC$, $BC = EC$. Докажите, что $\Delta ABC = \Delta DEC$.

Рис. 152

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$ воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Рассмотрим элементы этих треугольников:

1. Сторона $AC$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $DC$ треугольника $\triangle DEC$ по условию задачи ($AC = DC$). На рисунке эти стороны отмечены одной черточкой.
2. Сторона $BC$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $EC$ треугольника $\triangle DEC$ также по условию ($BC = EC$). На рисунке эти стороны отмечены двумя черточками.
3. Угол $\angle ACB$ и угол $\angle DCE$ образованы пересечением прямых $AE$ и $BD$. Такие углы называются вертикальными, и по свойству вертикальных углов они равны: $\angle ACB = \angle DCE$.

Таким образом, у треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$ есть две соответственно равные стороны ($AC = DC$ и $BC = EC$) и равные углы между этими сторонами ($\angle ACB = \angle DCE$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle ABC = \triangle DEC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), так как $AC = DC$ и $BC = EC$ по условию, а $\angle ACB = \angle DCE$ как вертикальные углы.

181. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся точкой пересечения пополам. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle BAD$.

182. На рисунке 153 $AB = AD$, $\angle BAC = \angle DAC$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle ADC$.

Рис. 153

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Для доказательства их равенства необходимо найти равные элементы.

Согласно условию задачи и данным на рисунке, мы имеем следующие элементы для сравнения:

1. Сторона $AB$ в треугольнике $\triangle ABC$ равна стороне $AD$ в треугольнике $\triangle ADC$. Это следует из условия ($AB = AD$) и отмечено на рисунке одинаковыми штрихами на этих сторонах.

2. Угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DAC$. Это также дано в условии ($\angle BAC = \angle DAC$) и отмечено на рисунке одинаковыми дугами.

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников, а значит, её длина в треугольнике $\triangle ABC$ равна её длине в треугольнике $\triangle ADC$.

Таким образом, мы установили, что две стороны и угол между ними одного треугольника ($AB$, $AC$ и $\angle BAC$ в $\triangle ABC$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($AD$, $AC$ и $\angle DAC$ в $\triangle ADC$).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle ADC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), так как $AB = AD$ и $\angle BAC = \angle DAC$ по условию, а сторона $AC$ является общей.

182. На рисунке 147 прямые $m$ и $n$ – серединные перпендикуляры сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Докажите, что точка $O$ равноудалена от всех вершин данного треугольника.

Рис. 147