Страница 58 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

162. Укажите общий элемент треугольников, изображённых на рисунке 137.

Рис. 137

а

б

в

а) На рисунке изображён четырёхугольник $ABCD$, разделённый диагональю $BD$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. Эти два треугольника имеют общую сторону $BD$.
Ответ: сторона $BD$.

б) На рисунке изображены два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle AEF$. У этих треугольников общая вершина $A$, следовательно, они имеют общий угол $\angle A$ (также можно обозначить как $\angle EAF$).
Ответ: угол $A$.

в) На рисунке изображены два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle DBC$. Они имеют общее основание (сторону) $BC$.
Ответ: сторона $BC$.

162. На рисунке 135 $AB = CD$, $\angle 1 = \angle 2$, $AD = 7$ см, $\angle C = 34^\circ$. Найдите отрезок $BC$ и угол $A$.

Рис. 135

163. Отрезок $CH$ — высота треугольника $ABC$ (рис. 138). Найдите градусные меры углов $AHC$ и $BHC$.

Рис. 138

По условию задачи, отрезок $CH$ является высотой треугольника $ABC$, опущенной из вершины $C$ на сторону $AB$.

По определению, высота треугольника — это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Следовательно, отрезок $CH$ перпендикулярен стороне $AB$. Математически это записывается как $CH \perp AB$.

Углы, образованные при пересечении перпендикулярных прямых, являются прямыми, а их градусная мера равна $90^\circ$. Углы $\angle AHC$ и $\angle BHC$ как раз и являются углами, образованными при пересечении высоты $CH$ и стороны $AB$.

Так как $CH \perp AB$, угол $\angle AHC$, образованный этими отрезками, является прямым. Градусная мера прямого угла составляет $90^\circ$.

Ответ: $\angle AHC = 90^\circ$.

Аналогично, угол $\angle BHC$ также является прямым, поскольку он образован перпендикулярными отрезками $CH$ и $AB$. Кроме того, углы $\angle AHC$ и $\angle BHC$ являются смежными, так как их стороны $HA$ и $HB$ лежат на одной прямой $AB$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Зная, что $\angle AHC = 90^\circ$, можно вычислить $\angle BHC$ следующим образом: $\angle BHC = 180^\circ - \angle AHC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $\angle BHC = 90^\circ$.

163. На рисунке 136 $AO = OD, BO = OC$. Найдите сторону $CD$ и угол $\angle OCD$ треугольника OCD, если $AB = 8$ см, $\angle OBA = 43^\circ$.

Рис. 136

164. Отрезок $AM$ — медиана треугольника $ABC$ (рис. 139), $BM = 8$ см. Найдите отрезки $CM$ и $BC$.

Рис. 139

По условию задачи, отрезок $AM$ является медианой треугольника $ABC$. По определению, медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Следовательно, медиана $AM$ делит сторону $BC$ на два равных отрезка: $BM$ и $CM$.

Найдите отрезок CM
Поскольку $M$ — середина стороны $BC$, то $CM = BM$.
Из условия известно, что $BM = 8$ см.
Значит, $CM = 8$ см.
Ответ: $CM = 8$ см.

Найдите отрезок BC
Длина стороны $BC$ складывается из длин отрезков $BM$ и $CM$.
$BC = BM + CM$
Подставим известные значения длин отрезков:
$BC = 8 \text{ см} + 8 \text{ см} = 16$ см.
Ответ: $BC = 16$ см.

164. Дано: $OA = OC$, $OB = OD$ (рис. 137). Докажите, что $\angle OAD = \angle OCB$.

Рис. 135

Рис. 136

Рис. 137

165. Отрезок BD – биссектриса треугольника ABC (рис. 140), $ \angle ABD = 42^\circ $. Найдите градусные меры углов CBD и ABC.

Рис. 140

По условию задачи отрезок BD является биссектрисой треугольника ABC. Это означает, что BD делит угол $\angle ABC$ на два равных по величине угла: $\angle ABD$ и $\angle CBD$.

Так как BD — биссектриса угла $\angle ABC$, то по определению $\angle CBD = \angle ABD$.

Из условия известно, что $\angle ABD = 42^\circ$.

Следовательно, градусная мера угла CBD также равна $42^\circ$.

$\angle CBD = 42^\circ$.

Ответ: $42^\circ$

Угол $\angle ABC$ состоит из двух углов, $\angle ABD$ и $\angle CBD$. Его градусная мера равна их сумме.

$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$.

Подставляя известные значения, получаем:

$\angle ABC = 42^\circ + 42^\circ = 84^\circ$.

Ответ: $84^\circ$

165. Дано: $AD \perp BC$, $BD = CD$ (рис. 138). Докажите, что $AB = AC$.

Рис. 138

166. Какие из элементов треугольника – биссектриса, медиана, высота – всегда принадлежат треугольнику?

Биссектриса. Биссектриса угла треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне и делит угол при этой вершине пополам. Поскольку любой угол треугольника строго меньше $180^\circ$, луч биссектрисы, выходящий из вершины, всегда направлен внутрь треугольника. Следовательно, отрезок биссектрисы от вершины до противолежащей стороны всегда полностью располагается внутри треугольника (включая его границу).
Ответ: да, всегда принадлежит треугольнику.

Медиана. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны. Вершина является точкой треугольника, а середина противолежащей стороны также принадлежит ему (лежит на его границе). Треугольник вместе со своей внутренней частью является выпуклой фигурой. По определению, любой отрезок, концы которого принадлежат выпуклой фигуре, целиком лежит внутри этой фигуры. Поэтому медиана всегда принадлежит треугольнику.
Ответ: да, всегда принадлежит треугольнику.

Высота. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, которая содержит противолежащую сторону. Ее расположение зависит от вида треугольника:
1. В остроугольном треугольнике все три высоты находятся внутри него.
2. В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с его катетами (то есть лежат на границе), а третья находится внутри.
3. В тупоугольном треугольнике только одна высота (проведенная из вершины тупого угла) находится внутри, а две другие — вне треугольника, так как их основания лежат на продолжениях сторон.
Поскольку в тупоугольном треугольнике две из трех высот лежат вне его, нельзя утверждать, что высота всегда принадлежит треугольнику.
Ответ: нет, не всегда принадлежит треугольнику.

166. Из точек A и B, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой a и на одинаковом расстоянии от неё, опущены на эту прямую перпендикуляры AC и BD. Найдите угол $\angle ACB$, если $\angle ADC = 25^\circ$.

167. Какой из элементов треугольника – биссектриса, медиана, высота – может совпадать с его стороной? Укажите вид треугольника, для которого это возможно.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол при этой вершине пополам. Биссектриса всегда проходит внутри треугольника (за исключением её вершин), в то время как сторона является его границей. Если предположить, что биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ совпадает с его стороной $AB$, то угол $A$, образованный сторонами $AB$ и $AC$, должен делиться стороной $AB$ пополам. Это означало бы, что угол между стороной $AC$ и стороной $AB$ был бы равен нулю, что для треугольника невозможно. Следовательно, биссектриса не может совпадать со стороной.

Ответ: Биссектриса не может совпадать со стороной треугольника.

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Пусть в треугольнике $ABC$ медиана, проведённая из вершины $A$, совпадает со стороной $AB$. По определению, эта медиана должна соединять вершину $A$ с серединой стороны $BC$. Если медиана — это сторона $AB$, то точка $B$ должна быть серединой стороны $BC$. Это возможно только в том случае, если точка $C$ совпадает с точкой $B$, то есть сторона $BC$ имеет нулевую длину. Такой треугольник является вырожденным. Следовательно, в невырожденном треугольнике медиана не может совпадать со стороной.

Ответ: Медиана не может совпадать со стороной треугольника.

Высота

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ прямой ($\angle C = 90^\circ$). Стороны $AC$ и $BC$ называются катетами. По определению, катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$. Это означает, что отрезок $AC$ является перпендикуляром, опущенным из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Таким образом, катет $AC$ является высотой треугольника. Аналогично, катет $BC$ является высотой, опущенной из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AC$. Следовательно, высота может совпадать со стороной.

Ответ: Высота может совпадать со стороной. Это возможно для прямоугольного треугольника, где его катеты одновременно являются и высотами.

167. Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Найдите угол $ACD$, если $\angle ABC = 64^\circ$, $\angle ACO = 56^\circ$.

168. 1) Может ли одна высота треугольника принадлежать ему, а две другие нет?

2) Может ли только одна высота треугольника совпадать с его стороной?

3) В каком треугольнике три высоты пересекаются в его вершине?

1) Может ли одна высота треугольника принадлежать ему, а две другие нет?

Да, может. Такая ситуация возникает в тупоугольном треугольнике.
Рассмотрим тупоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ — тупой (то есть $\angle C > 90^\circ$), а углы $A$ и $B$ — острые.

• Высота $h_c$, опущенная из вершины тупого угла $C$ на сторону $AB$, будет падать на саму сторону $AB$, так как углы $A$ и $B$ при основании острые. Следовательно, эта высота будет лежать внутри треугольника, то есть принадлежать ему.
• Высота $h_a$, опущенная из вершины острого угла $A$ на сторону $BC$, упадет не на сам отрезок $BC$, а на его продолжение за точку $C$, так как угол $C$ тупой. Таким образом, эта высота окажется вне треугольника.
• Аналогично, высота $h_b$, опущенная из вершины острого угла $B$ на сторону $AC$, упадет на продолжение стороны $AC$ за точку $C$. Эта высота также будет лежать вне треугольника.

Таким образом, в тупоугольном треугольнике только одна высота (проведенная из вершины тупого угла) принадлежит треугольнику, а две другие (проведенные из вершин острых углов) — нет.
Ответ: Да, в тупоугольном треугольнике.

2) Может ли только одна высота треугольника совпадать с его стороной?

Нет, не может.
Высота треугольника совпадает с его стороной только в том случае, если эта сторона перпендикулярна другой стороне. Пусть в треугольнике $ABC$ высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, совпадает со стороной $AB$. Это означает, что сторона $AB$ перпендикулярна стороне $BC$ ($AB \perp BC$), то есть угол $B$ — прямой ($\angle B = 90^\circ$).
В этом случае треугольник $ABC$ является прямоугольным. Рассмотрим все его высоты:

• Высота из вершины $A$ на сторону $BC$ — это катет $AB$.
• Высота из вершины $C$ на сторону $AB$ — это катет $BC$.
• Высота из вершины $B$ на гипотенузу $AC$ лежит внутри треугольника и не совпадает ни с одной из сторон.

Таким образом, если одна высота совпадает со стороной, то треугольник является прямоугольным, а в прямоугольном треугольнике со сторонами совпадают сразу две высоты (катеты). Невозможно, чтобы только одна высота совпадала со стороной.
Ответ: Нет, не может.

3) В каком треугольнике три высоты пересекаются в его вершине?

Три высоты треугольника (или их продолжения) всегда пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. Вопрос заключается в том, когда эта точка совпадает с одной из вершин треугольника.
Пусть в треугольнике $ABC$ ортоцентр совпадает с вершиной $C$.

• Высота, опущенная из вершины $A$, должна проходить через ортоцентр, то есть через точку $C$. Это означает, что прямая $AC$ является высотой, а значит, $AC \perp BC$. Следовательно, $\angle C = 90^\circ$.
• Высота, опущенная из вершины $B$, также должна проходить через точку $C$. Это означает, что прямая $BC$ является высотой, а значит, $BC \perp AC$. Это также означает, что $\angle C = 90^\circ$.
• Третья высота, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$, по определению выходит из вершины $C$.

Все три условия выполняются одновременно, если угол $C$ прямой. Таким образом, три высоты треугольника пересекаются в одной из его вершин, если этот треугольник — прямоугольный. Точкой пересечения высот является вершина прямого угла.
Ответ: В прямоугольном треугольнике (высоты пересекаются в вершине прямого угла).

168. На рисунке 139 $AB \perp BD$, $CD \perp BD$, точка $O$ – середина отрезка $BD$. Докажите, что $\triangle ABO = \triangle CDO$.

Рис. 138

Рис. 139

169. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Отрезок $BD$ разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника, периметры которых равны 32 см и 36 см. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $BD = 10$ см.

Пусть $P_{ABC}$ — периметр треугольника $ABC$, $P_{ABD}$ — периметр треугольника $ABD$, и $P_{BDC}$ — периметр треугольника $BDC$.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Запишем формулы для периметров данных треугольников:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$

$P_{ABD} = AB + AD + BD$

$P_{BDC} = BC + DC + BD$

По условию задачи, периметры двух меньших треугольников равны 32 см и 36 см, а длина отрезка $BD$ равна 10 см:

$P_{ABD} = 32$ см

$P_{BDC} = 36$ см

$BD = 10$ см

Точка $D$ лежит на стороне $AC$, следовательно, длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DC$:

$AC = AD + DC$

Сложим периметры треугольников $ABD$ и $BDC$:

$P_{ABD} + P_{BDC} = (AB + AD + BD) + (BC + DC + BD)$

Сгруппируем слагаемые:

$P_{ABD} + P_{BDC} = (AB + BC) + (AD + DC) + 2 \cdot BD$

Заменим сумму $(AD + DC)$ на $AC$:

$P_{ABD} + P_{BDC} = (AB + BC + AC) + 2 \cdot BD$

Выражение в скобках является периметром треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$). Таким образом, получаем:

$P_{ABD} + P_{BDC} = P_{ABC} + 2 \cdot BD$

Отсюда можно выразить искомый периметр треугольника $ABC$:

$P_{ABC} = P_{ABD} + P_{BDC} - 2 \cdot BD$

Подставим известные значения в формулу:

$P_{ABC} = 32 + 36 - 2 \cdot 10$

$P_{ABC} = 68 - 20$

$P_{ABC} = 48$ см

Ответ: 48 см.

169. На рисунке 140 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$, $AB = 8$ см, $BC = 6$ см. Найдите стороны $AD$ и $CD$ треугольника $ADC$.

Рис. 140

170. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$. Периметры треугольников $ABC$, $AMC$ и $AMB$ равны соответственно 60 см, 36 см и 50 см. Найдите отрезок $AM$.

Обозначим стороны треугольника $ABC$ как $AB$, $AC$ и $BC$. Точка $M$ лежит на стороне $BC$, следовательно, длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $MC$, то есть $BC = BM + MC$.

Периметр любого треугольника равен сумме длин его сторон. Запишем выражения для периметров треугольников $ABC$, $AMC$ и $AMB$:
$P_{ABC} = AB + AC + BC = AB + AC + (BM + MC)$
$P_{AMC} = AC + MC + AM$
$P_{AMB} = AB + BM + AM$

Согласно условию задачи:
$P_{ABC} = 60$ см
$P_{AMC} = 36$ см
$P_{AMB} = 50$ см

Сложим периметры треугольников $AMC$ и $AMB$:
$P_{AMC} + P_{AMB} = (AC + MC + AM) + (AB + BM + AM)$

Сгруппируем слагаемые в полученном выражении:
$P_{AMC} + P_{AMB} = (AB + AC + BM + MC) + 2 \cdot AM$

Заметим, что выражение в скобках $(AB + AC + BM + MC)$ является периметром треугольника $ABC$. Таким образом, мы получаем следующее равенство:
$P_{AMC} + P_{AMB} = P_{ABC} + 2 \cdot AM$

Из этого равенства можно выразить искомую длину отрезка $AM$:
$2 \cdot AM = P_{AMC} + P_{AMB} - P_{ABC}$

Подставим известные числовые значения периметров:
$2 \cdot AM = 36 + 50 - 60$
$2 \cdot AM = 86 - 60$
$2 \cdot AM = 26$
$AM = \frac{26}{2}$
$AM = 13$ см

Ответ: 13 см.

170. На рисунке 141 $\angle ABC = \angle DEF, BO = OE$. Докажите, что $\triangle BCO = \triangle EFO$.

Рис. 140

Рис. 141