Номер 167, страница 58 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 7. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 167, страница 58.

167. Какой из элементов треугольника – биссектриса, медиана, высота – может совпадать с его стороной? Укажите вид треугольника, для которого это возможно.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол при этой вершине пополам. Биссектриса всегда проходит внутри треугольника (за исключением её вершин), в то время как сторона является его границей. Если предположить, что биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ совпадает с его стороной $AB$, то угол $A$, образованный сторонами $AB$ и $AC$, должен делиться стороной $AB$ пополам. Это означало бы, что угол между стороной $AC$ и стороной $AB$ был бы равен нулю, что для треугольника невозможно. Следовательно, биссектриса не может совпадать со стороной.

Ответ: Биссектриса не может совпадать со стороной треугольника.

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Пусть в треугольнике $ABC$ медиана, проведённая из вершины $A$, совпадает со стороной $AB$. По определению, эта медиана должна соединять вершину $A$ с серединой стороны $BC$. Если медиана — это сторона $AB$, то точка $B$ должна быть серединой стороны $BC$. Это возможно только в том случае, если точка $C$ совпадает с точкой $B$, то есть сторона $BC$ имеет нулевую длину. Такой треугольник является вырожденным. Следовательно, в невырожденном треугольнике медиана не может совпадать со стороной.

Ответ: Медиана не может совпадать со стороной треугольника.

Высота

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ прямой ($\angle C = 90^\circ$). Стороны $AC$ и $BC$ называются катетами. По определению, катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$. Это означает, что отрезок $AC$ является перпендикуляром, опущенным из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Таким образом, катет $AC$ является высотой треугольника. Аналогично, катет $BC$ является высотой, опущенной из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AC$. Следовательно, высота может совпадать со стороной.

Ответ: Высота может совпадать со стороной. Это возможно для прямоугольного треугольника, где его катеты одновременно являются и высотами.

167. Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Найдите угол $ACD$, если $\angle ABC = 64^\circ$, $\angle ACO = 56^\circ$.