Номер 161, страница 57 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 7. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 161, страница 57.

161. Верно ли утверждение:

1) если треугольники равны, то их периметры также равны;

2) если периметры двух треугольников равны, то и сами треугольники равны?

1) если треугольники равны, то их периметры также равны;
Да, это утверждение верно.
По определению, равные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие стороны и соответствующие углы равны. Пусть даны два равных треугольника, $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Из того, что $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $, следует, что их соответствующие стороны равны: $ AB = A_1B_1 $, $ BC = B_1C_1 $, $ AC = A_1C_1 $.
Периметр треугольника — это сумма длин его сторон. Периметр первого треугольника $ P_{ABC} = AB + BC + AC $. Периметр второго треугольника $ P_{A_1B_1C_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1 $.
Поскольку правые части этих равенств состоят из попарно равных слагаемых, то и сами суммы равны. Таким образом, $ P_{ABC} = P_{A_1B_1C_1} $.
Следовательно, если треугольники равны, то их периметры всегда равны.
Ответ: да, утверждение верно.

2) если периметры двух треугольников равны, то и сами треугольники равны?
Нет, это утверждение неверно. Это обратное утверждение к первому, и оно не всегда истинно. Чтобы опровергнуть его, достаточно привести один контрпример.
Рассмотрим два треугольника с одинаковым периметром, равным, например, 12 см.
Треугольник 1: Равносторонний треугольник со сторонами $a_1 = 4$ см, $b_1 = 4$ см, $c_1 = 4$ см. Его периметр $ P_1 = 4 + 4 + 4 = 12 $ см.
Треугольник 2: Прямоугольный треугольник с катетами $a_2 = 3$ см, $b_2 = 4$ см и гипотенузой $c_2 = 5$ см (египетский треугольник). Его периметр $ P_2 = 3 + 4 + 5 = 12 $ см.
Периметры этих двух треугольников равны ($ P_1 = P_2 $), но сами треугольники не равны, так как их стороны не равны. Треугольник 1 является равносторонним и остроугольным, а Треугольник 2 — разносторонним и прямоугольным. Они не могут быть совмещены наложением.
Следовательно, из равенства периметров двух треугольников не следует равенство самих треугольников.
Ответ: нет, утверждение неверно.

161. На рисунке 134 $AB = AD$, $\angle BAC = \angle DAC$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle ADC$.

Рис. 133

Рис. 134