Страница 57 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

151. Начертите произвольный треугольник и проведите все его медианы.

Для того чтобы начертить произвольный треугольник и провести в нем все медианы, необходимо выполнить следующие действия:

1. Построение произвольного треугольника.
   Сначала начертим треугольник. Произвольный треугольник — это треугольник, у которого нет специальных свойств, то есть он не обязательно равнобедренный, равносторонний или прямоугольный. Обозначим его вершины латинскими буквами, например, $A$, $B$ и $C$.

2. Определение и нахождение середин сторон.
   Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. У любого треугольника есть три медианы. Чтобы их провести, нужно найти середину каждой из трех сторон: $AB$, $BC$ и $AC$.
   Для нахождения середины стороны можно использовать линейку: измерить длину стороны и разделить ее на два.

   • Находим середину стороны $BC$, противолежащей вершине $A$. Обозначим эту точку $M_a$. Точка $M_a$ делит сторону $BC$ пополам, то есть $BM_a = M_aC$.
   • Аналогично находим середину $M_b$ стороны $AC$. Точка $M_b$ делит сторону $AC$ пополам, то есть $AM_b = M_bC$.
   • И находим середину $M_c$ стороны $AB$. Точка $M_c$ делит сторону $AB$ пополам, то есть $AM_c = M_cB$.

3. Проведение медиан.
   После того как середины всех сторон найдены, проводим отрезки от каждой вершины к середине противоположной стороны:

   • Соединяем вершину $A$ с точкой $M_a$. Отрезок $AM_a$ — это медиана, проведенная к стороне $BC$.
   • Соединяем вершину $B$ с точкой $M_b$. Отрезок $BM_b$ — это медиана, проведенная к стороне $AC$.
   • Соединяем вершину $C$ с точкой $M_c$. Отрезок $CM_c$ — это медиана, проведенная к стороне $AB$.

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром масс треугольника.

Ответ:

На чертеже показан произвольный треугольник $ABC$ и три его медианы $AM_a$, $BM_b$ и $CM_c$, которые проведены из вершин $A$, $B$ и $C$ к серединам противоположных сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.

Рис. 123

151. На рисунке 123 $KP = PE = EF = FT = 1$ см.
Какие равные отрезки есть ещё на этом рисунке? Найдите их длины.

152. Начертите произвольный треугольник и проведите все его биссектрисы.

Чтобы выполнить это задание, сначала начертим произвольный треугольник, обозначив его вершины буквами $A$, $B$ и $C$. Произвольный треугольник — это треугольник общего вида, который в общем случае не является равносторонним, равнобедренным или прямоугольным.

Далее, для каждого из трёх углов треугольника необходимо провести его биссектрису. Биссектриса угла треугольника — это отрезок, который соединяет вершину угла с точкой на противоположной стороне и делит этот угол на два равных по величине угла.

Таким образом, мы проводим три биссектрисы:

• Из вершины $A$ к стороне $BC$ проводим биссектрису, которая делит угол $\angle BAC$ на два равных угла.
• Из вершины $B$ к стороне $AC$ проводим биссектрису, которая делит угол $\angle ABC$ на два равных угла.
• Из вершины $C$ к стороне $AB$ проводим биссектрису, которая делит угол $\angle BCA$ на два равных угла.

Все три биссектрисы треугольника обладают важным свойством: они всегда пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентром треугольника и является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответ:

Ниже представлен чертёж произвольного треугольника $ABC$ с проведёнными в нём тремя биссектрисами. Точка их пересечения $I$ — инцентр треугольника.

152. Луч BD разбивает угол $ABC$, равный $72^\circ$, на два угла $ABD$ и $CBD$ так, что $\angle ABD = 5\angle CBD$. Луч BK проходит так, что луч BA является биссектрисой угла $DBK$. Определите градусную меру и вид угла $DBK$.

153. Начертите произвольный треугольник, обозначьте его вершины буквами $M$, $K$ и $E$. Укажите:

1) сторону, противолежащую углу $M$;

2) угол, противолежащий стороне $MK$;

3) стороны, прилежащие к углу $K$;

4) углы, прилежащие к стороне $KE$.

Для решения задачи начертим произвольный треугольник и обозначим его вершины буквами M, K и E. В таком треугольнике $\triangle MKE$ сторонами являются отрезки, соединяющие вершины (MK, KE, EM), а углами — углы при этих вершинах ($\angle M, \angle K, \angle E$).

1) сторону, противолежащую углу M;
Угол $\angle M$ образован сторонами MK и ME. Сторона, которая не примыкает к вершине M, а лежит напротив нее, называется противолежащей. Эта сторона соединяет две другие вершины треугольника — K и E. Следовательно, это сторона KE.
Ответ: KE.

2) угол, противолежащий стороне MK;
Сторона MK соединяет вершины M и K. Угол, который лежит напротив этой стороны, находится при третьей вершине треугольника, то есть при вершине E. Этот угол обозначается как $\angle E$.
Ответ: $\angle E$.

3) стороны, прилежащие к углу K;
Прилежащими к углу называются стороны, которые образуют этот угол, то есть выходят из его вершины. Угол $\angle K$ образован сторонами, которые сходятся в вершине K. Это стороны MK и KE.
Ответ: MK и KE.

4) углы, прилежащие к стороне KE.
Прилежащими к стороне называются углы, вершины которых являются концами этой стороны. Сторона KE соединяет вершины K и E. Значит, прилежащими к этой стороне являются углы при вершинах K и E, то есть $\angle K$ и $\angle E$.
Ответ: $\angle K$ и $\angle E$.

153. Разрежьте каждую из фигур, изображённых на рисунке 124, на две равные фигуры (разрезать не обязательно по линиям сетки).

Рис. 124

а

б

в

г

д

154. Запишите стороны, вершины, углы треугольника $CEF$ (рис. 136). Укажите:

Рис. 136

1) угол, противолежащий стороне $CF$;

2) углы, прилежащие к стороне $CE$;

3) сторону, противолежащую углу $E$;

4) стороны, прилежащие к углу $F$.

В соответствии с рисунком 136, для треугольника $CEF$ определим его элементы:

• Стороны: $CE$, $EF$, $CF$.
• Вершины: $C$, $E$, $F$.
• Углы: $\angle C$ (или $\angle ECF$), $\angle E$ (или $\angle CEF$), $\angle F$ (или $\angle CFE$).

Теперь ответим на поставленные вопросы.

Угол, противолежащий стороне, находится напротив этой стороны и не касается ее. В треугольнике $CEF$ напротив стороны $CF$ находится вершина $E$. Следовательно, противолежащим углом является угол при этой вершине.

Ответ: $\angle E$ (или $\angle CEF$).

Углы, прилежащие к стороне, — это углы, вершины которых являются концами данной стороны. Сторона $CE$ соединяет вершины $C$ и $E$. Значит, прилежащими к ней являются углы при этих вершинах.

Ответ: $\angle C$ (или $\angle ECF$) и $\angle E$ (или $\angle CEF$).

Сторона, противолежащая углу, находится напротив этого угла. Угол $E$ находится в вершине $E$. Сторона, которая не касается этой вершины, а соединяет две другие ($C$ и $F$), является противолежащей.

Ответ: $CF$.

Стороны, прилежащие к углу, — это две стороны, которые образуют данный угол, сходясь в его вершине. Угол $F$ образован сторонами, которые выходят из вершины $F$. Это стороны $CF$ и $EF$.

Ответ: $CF$ и $EF$.

154. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, две стороны которого равны 3 и 6 см, а угол между ними – $40^\circ$.

155. Одна из сторон треугольника в 5 раз меньше второй и на 25 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 74 см.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ см — длина первой стороны треугольника.

Из условия известно, что первая сторона в 5 раз меньше второй. Это означает, что вторая сторона в 5 раз больше первой. Таким образом, длина второй стороны равна $5x$ см.

Также в условии сказано, что первая сторона на 25 см меньше третьей. Следовательно, третья сторона на 25 см больше первой, и ее длина составляет $(x + 25)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 74 см. Мы можем составить и решить уравнение:

$x + 5x + (x + 25) = 74$

Сложим все слагаемые с переменной $x$:

$7x + 25 = 74$

Перенесем число 25 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$7x = 74 - 25$

$7x = 49$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 7:

$x = \frac{49}{7}$

$x = 7$

Итак, мы нашли длину первой стороны — она равна 7 см.

Теперь найдем длины остальных сторон:

Длина второй стороны: $5x = 5 \cdot 7 = 35$ см.

Длина третьей стороны: $x + 25 = 7 + 25 = 32$ см.

Проверим правильность решения, сложив длины найденных сторон: $7 + 35 + 32 = 42 + 32 = 74$ см. Периметр совпадает с данным в условии.

Ответ: длины сторон треугольника равны 7 см, 35 см и 32 см.

155. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, две стороны которого равны 3 см и 4 см, а угол между ними – $90^\circ$. Укажите вид этого треугольника.

156. Стороны треугольника относятся как $5 : 7 : 11$, а сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 80 см. Вычислите периметр треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию, их длины относятся как $5:7:11$. Это означает, что мы можем представить стороны через коэффициент пропорциональности $x$: $a = 5x$ $b = 7x$ $c = 11x$

Из этого соотношения видно, что наименьшая сторона соответствует наименьшей части отношения (5), а наибольшая сторона - наибольшей части (11). Таким образом, наименьшая сторона - это $5x$, а наибольшая - $11x$.

По условию задачи, сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 80 см. Составим и решим уравнение: $5x + 11x = 80$ $16x = 80$ $x = \frac{80}{16}$ $x = 5$

Теперь мы можем найти длины каждой стороны треугольника: Первая сторона: $5x = 5 \cdot 5 = 25$ см. Вторая сторона: $7x = 7 \cdot 5 = 35$ см. Третья сторона: $11x = 11 \cdot 5 = 55$ см.

Периметр треугольника ($P$) - это сумма длин всех его сторон: $P = 25 + 35 + 55$ $P = 115$ см.

Ответ: 115 см.

156. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, одна сторона которого равна 3 см, а углы, прилежащие к этой стороне, — 100° и 20°. Укажите вид этого треугольника.

157. Периметр треугольника равен 48 см, а его стороны относятся как $7:9:8$. Найдите стороны треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$. По условию, $P = 48$ см.

Стороны треугольника относятся как $7:9:8$. Это означает, что их длины можно выразить через общий коэффициент пропорциональности $x$.

Тогда первая сторона $a = 7x$, вторая сторона $b = 9x$, а третья сторона $c = 8x$.

Составим уравнение, используя формулу периметра:
$a + b + c = 48$
$7x + 9x + 8x = 48$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$(7 + 9 + 8)x = 48$
$24x = 48$
$x = \frac{48}{24}$
$x = 2$

Теперь, зная значение коэффициента пропорциональности, найдем длины каждой стороны треугольника:
Первая сторона: $a = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см.
Вторая сторона: $b = 9x = 9 \cdot 2 = 18$ см.
Третья сторона: $c = 8x = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Проверим правильность решения: $14 + 18 + 16 = 32 + 16 = 48$ см. Периметр совпадает с заданным в условии.

Ответ: стороны треугольника равны 14 см, 18 см и 16 см.

157. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, одна сторона которого равна 6 см, а углы, прилежащие к этой стороне, – $90^\circ$ и $45^\circ$.

158. Треугольники $APK$ и $MCE$ равны, углы $A$ и $C$ соответственные, $PK = 10$ см. Найдите сторону $ME$.

По определению, если два треугольника равны, то их соответственные элементы (стороны и углы) равны. Нам дано, что треугольники АРК и МСЕ равны ($ \triangle APK \cong \triangle MCE $).

В равных треугольниках против соответственных углов лежат соответственные (а значит, и равные) стороны.

По условию задачи, углы А и С являются соответственными, то есть $ \angle A = \angle C $.

В треугольнике АРК ($ \triangle APK $) сторона РК лежит напротив угла А.

В треугольнике МСЕ ($ \triangle MCE $) сторона МЕ лежит напротив угла С.

Так как углы $ \angle A $ и $ \angle C $ соответственные, то и стороны, лежащие напротив них, — РК и МЕ — также являются соответственными.

Из равенства треугольников следует, что их соответственные стороны равны: $ ME = PK $.

Поскольку по условию $ PK = 10 $ см, то и $ ME = 10 $ см.

Ответ: 10 см.

158. Перерисуйте в тетрадь рисунок 131. С помощью угольника и линейки найдите на прямой $l$ точку, равноудалённую от концов отрезка $AB$.

Рис. 131

159. Треугольники $ABC$ и $DEF$ равны, стороны $AB$ и $DE$, $BC$ и $DF$ соответственно, $\angle B = 32^\circ$. Найдите угол $\angle D$.

По определению равных треугольников, у них равны соответственные стороны и соответственные углы. Соответственными называются элементы (стороны, углы), которые совмещаются при наложении треугольников.

В треугольнике $ \triangle ABC $ угол $ \angle B $ находится между сторонами AB и BC.

В условии сказано, что сторона AB треугольника $ \triangle ABC $ соответственна стороне DE треугольника $ \triangle DEF $, а сторона BC соответственна стороне DF.

Следовательно, угол, заключенный между сторонами AB и BC, то есть $ \angle B $, будет соответствовать углу, заключенному между соответственными сторонами DE и DF, то есть углу $ \angle D $.

Так как соответственные углы равных треугольников равны, то $ \angle D = \angle B $.

По условию $ \angle B = 32^\circ $, значит, $ \angle D = 32^\circ $.

Ответ: $ 32^\circ $

159. Перерисуйте в тетрадь рисунок 132. С помощью угольника и линейки найдите точку, равноудалённую от точек A и B, а также точек C и D.

Рис. 131

Рис. 132

160. Треугольники $ABC$ и $KTM$ равны, углы $A$ и $M$, $B$ и $K$ соответственные, $\angle C=40^{\circ}$, $MK = 5$ см. Найдите угол $T$ и сторону $AB$.

По условию задачи треугольники $ABC$ и $KTM$ равны. Свойство равных треугольников заключается в том, что их соответствующие углы и стороны равны. В задаче дано, что угол $A$ соответствует углу $M$, а угол $B$ соответствует углу $K$. Это означает, что третья пара вершин также является соответственной: вершина $C$ соответствует вершине $T$.

Из этого соответствия вершин ($A \leftrightarrow M$, $B \leftrightarrow K$, $C \leftrightarrow T$) следует равенство соответствующих углов и сторон:

$\angle A = \angle M$, $\angle B = \angle K$, $\angle C = \angle T$

$AB = MK$, $BC = KT$, $AC = MT$

Используя эти соотношения, найдем требуемые значения.

Нахождение угла T

Угол $T$ в треугольнике $KTM$ является соответственным углу $C$ в треугольнике $ABC$. Так как треугольники равны, их соответственные углы также равны. Следовательно, $\angle T = \angle C$. По условию задачи дано, что $\angle C = 40^\circ$. Значит, угол $T$ также равен $40^\circ$.

Ответ: $\angle T = 40^\circ$.

Нахождение стороны AB

Сторона $AB$ в треугольнике $ABC$ соединяет вершины $A$ и $B$. Соответствующими им вершинами в треугольнике $KTM$ являются $M$ и $K$. Следовательно, стороне $AB$ соответствует сторона $MK$. В равных треугольниках длины соответственных сторон равны, поэтому $AB = MK$. По условию задачи дано, что $MK = 5$ см. Значит, длина стороны $AB$ также равна 5 см.

Ответ: $AB = 5$ см.

160. На рисунке 133 $AC = DC$, $BC = EC$. Докажите, что $\Delta ABC = \Delta DEC$.

Рис. 133

161. Верно ли утверждение:

1) если треугольники равны, то их периметры также равны;

2) если периметры двух треугольников равны, то и сами треугольники равны?

1) если треугольники равны, то их периметры также равны;
Да, это утверждение верно.
По определению, равные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие стороны и соответствующие углы равны. Пусть даны два равных треугольника, $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Из того, что $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $, следует, что их соответствующие стороны равны: $ AB = A_1B_1 $, $ BC = B_1C_1 $, $ AC = A_1C_1 $.
Периметр треугольника — это сумма длин его сторон. Периметр первого треугольника $ P_{ABC} = AB + BC + AC $. Периметр второго треугольника $ P_{A_1B_1C_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1 $.
Поскольку правые части этих равенств состоят из попарно равных слагаемых, то и сами суммы равны. Таким образом, $ P_{ABC} = P_{A_1B_1C_1} $.
Следовательно, если треугольники равны, то их периметры всегда равны.
Ответ: да, утверждение верно.

2) если периметры двух треугольников равны, то и сами треугольники равны?
Нет, это утверждение неверно. Это обратное утверждение к первому, и оно не всегда истинно. Чтобы опровергнуть его, достаточно привести один контрпример.
Рассмотрим два треугольника с одинаковым периметром, равным, например, 12 см.
Треугольник 1: Равносторонний треугольник со сторонами $a_1 = 4$ см, $b_1 = 4$ см, $c_1 = 4$ см. Его периметр $ P_1 = 4 + 4 + 4 = 12 $ см.
Треугольник 2: Прямоугольный треугольник с катетами $a_2 = 3$ см, $b_2 = 4$ см и гипотенузой $c_2 = 5$ см (египетский треугольник). Его периметр $ P_2 = 3 + 4 + 5 = 12 $ см.
Периметры этих двух треугольников равны ($ P_1 = P_2 $), но сами треугольники не равны, так как их стороны не равны. Треугольник 1 является равносторонним и остроугольным, а Треугольник 2 — разносторонним и прямоугольным. Они не могут быть совмещены наложением.
Следовательно, из равенства периметров двух треугольников не следует равенство самих треугольников.
Ответ: нет, утверждение неверно.

161. На рисунке 134 $AB = AD$, $\angle BAC = \angle DAC$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle ADC$.

Рис. 133

Рис. 134