Страница 62 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте первый признак равенства треугольников.

1. Первый признак равенства треугольников, также известный как признак "по двум сторонам и углу между ними" (SAS - Side-Angle-Side), формулируется следующим образом:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим это на примере двух треугольников: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
Чтобы доказать их равенство по первому признаку, необходимо установить, что:
1. Одна сторона первого треугольника равна соответствующей стороне второго, например, $AB = A_1B_1$.
2. Вторая сторона первого треугольника, прилежащая к тому же углу, равна соответствующей стороне второго, например, $AC = A_1C_1$.
3. Угол, заключенный между этими двумя сторонами в первом треугольнике, равен соответствующему углу во втором: $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

Если все три условия выполнены, то можно утверждать, что треугольники равны: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Равенство треугольников означает, что все их соответствующие элементы (стороны и углы) равны. Следовательно, будут также равны и остальные элементы: $BC = B_1C_1$, $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ и $\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$.

Ответ: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

1. Сформулируйте первый признак равенства треугольников.

2. Какую прямую называют серединным перпендикуляром отрезка?

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, которая одновременно удовлетворяет двум условиям: она перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину.

Давайте разберем это определение на примере. Пусть дан отрезок $AB$ и прямая $m$. Прямая $m$ будет являться серединным перпендикуляром к отрезку $AB$ только в том случае, если выполнены два условия. Во-первых, прямая $m$ должна пересекать отрезок $AB$ строго в его середине. Если обозначить точку пересечения как $O$, то должно выполняться равенство $AO = OB$. Во-вторых, прямая $m$ должна быть перпендикулярна отрезку $AB$, то есть угол между ними должен быть равен $90^\circ$. В геометрии это обозначается как $m \perp AB$.

Ключевое свойство серединного перпендикуляра заключается в том, что каждая его точка находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка. Это означает, что для любой точки $P$, лежащей на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку $AB$, будет справедливо равенство $PA = PB$.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

2. Какую прямую называют серединным перпендикуляром отрезка?

3. Каким свойством обладают точки серединного перпендикуляра отрезка?

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину.

Ключевое свойство всех точек, лежащих на серединном перпендикуляре, заключается в том, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Рассмотрим доказательство этого свойства. Пусть $m$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, а точка $M$ — середина $AB$. По определению, $AM = MB$ и прямая $m$ перпендикулярна $AB$ ($m \perp AB$).

Возьмём любую точку $C$ на прямой $m$ и соединим её с точками $A$ и $B$. Мы получим два треугольника: $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$.

Рассмотрим эти треугольники. Сторона $CM$ у них общая. Стороны $AM$ и $BM$ равны, так как $M$ — середина отрезка $AB$. Углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ — прямые (равны $90^\circ$), так как $m \perp AB$.

Таким образом, треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников), или, что то же самое для данного случая, по двум катетам.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон. Следовательно, гипотенуза $AC$ равна гипотенузе $BC$. То есть, $AC = BC$.

Это доказывает, что любая точка $C$ на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка $A$ и $B$.

Важно отметить, что верно и обратное утверждение: любая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре. Поэтому серединный перпендикуляр также определяют как геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек (концов отрезка).

Ответ: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

3. Каким свойством обладают точки серединного перпендикуляра?

4. Сформулируйте второй признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников, известный также как признак по стороне и двум прилежащим к ней углам (сокращенно УСУ), формулируется следующим образом:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Это означает, что для доказательства равенства двух треугольников, например $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, достаточно проверить равенство трех соответствующих элементов:
1. Равенство одной стороны: $ AC = A_1C_1 $.
2. Равенство первого угла, прилежащего к этой стороне: $ \angle A = \angle A_1 $.
3. Равенство второго угла, прилежащего к этой же стороне: $ \angle C = \angle C_1 $.
Если все три условия выполнены, то можно сделать вывод о равенстве треугольников: $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Ответ: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

4. Сформулируйте второй признак равенства треугольников.

174. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, две стороны которого равны 3 см и 6 см, а угол между ними – $40^\circ$.

Чтобы построить треугольник с двумя сторонами 3 см и 6 см и углом 40° между ними, необходимо последовательно выполнить следующие шаги, используя линейку и транспортир:

1. С помощью линейки начертите отрезок, который будет первой стороной треугольника. Пусть это будет отрезок $AB$ длиной 6 см.

2. Приложите транспортир к отрезку $AB$ так, чтобы его центр совпал с точкой $A$, а его основание лежало на луче $AB$.

3. Найдите на шкале транспортира отметку $40^\circ$ и поставьте в этом месте вспомогательную точку. Проведите из точки $A$ луч через эту вспомогательную точку.

4. На построенном луче от точки $A$ отложите с помощью линейки отрезок длиной 3 см. Конец этого отрезка обозначьте точкой $C$. Таким образом, вы получите вторую сторону треугольника $AC$ длиной 3 см и угол $\angle BAC = 40^\circ$.

5. Соедините точки $B$ и $C$ отрезком с помощью линейки. Этот отрезок $BC$ будет третьей стороной треугольника.

В результате будет построен треугольник $ABC$, который полностью удовлетворяет условиям задачи: сторона $AB = 6$ см, сторона $AC = 3$ см, а угол между ними $\angle BAC = 40^\circ$.

Ответ: Искомый треугольник построен согласно описанному выше алгоритму.

174. На рисунке 143 $\triangle ABC = \triangle ADC$. Докажите, что $\triangle ABK = \triangle ADK$.

Рис. 142

Рис. 143

175. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, две стороны которого равны 3 см и 4 см, а угол между ними – $90^\circ$. Укажите вид этого треугольника.

Для построения треугольника по двум сторонам и углу между ними необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки начертим отрезок, который будет одной из сторон треугольника. Пусть это будет сторона длиной 4 см. Обозначим её концы буквами A и C. Таким образом, AC = 4 см.
2. С помощью транспортира отложим от одного из концов отрезка, например от точки A, угол, равный $90^\circ$. Для этого нужно совместить центр транспортира с точкой A, а его нулевую отметку — с лучом AC.
3. На шкале транспортира найдем деление $90^\circ$ и поставим в этом месте точку.
4. Через точку A и поставленную точку проведем луч.
5. На этом луче от точки A отложим с помощью линейки вторую заданную сторону длиной 3 см. Обозначим её конец буквой B. Таким образом, AB = 3 см.
6. Соединим точки B и C отрезком с помощью линейки.

В результате мы получили треугольник ABC, у которого сторона AC = 4 см, сторона AB = 3 см и угол между ними $\angle A = 90^\circ$.

Теперь определим вид этого треугольника. Треугольник, у которого один из углов прямой (равен $90^\circ$), называется прямоугольным. В нашем случае $\angle A = 90^\circ$, следовательно, треугольник ABC — прямоугольный. Стороны AB и AC являются его катетами, а сторона BC — гипотенузой.

Также можно проверить длины сторон. Две стороны (катеты) равны 3 см и 4 см. Длину третьей стороны (гипотенузы) можно найти по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см. Так как все три стороны имеют разную длину (3 см, 4 см, 5 см), треугольник также является разносторонним.

Ответ: построенный треугольник является прямоугольным.

175. На рисунке 144 $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$. Докажите, что $\triangle DBC = \triangle D_1B_1C_1$.

Рис. 144

Рис. 145

176. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, одна сторона которого равна 3 см, а углы, прилежащие к этой стороне, – $100^\circ$ и $20^\circ$. Укажите вид этого треугольника.

Рис. 149

Построение треугольника

1. С помощью линейки чертим горизонтальный отрезок AB длиной 3 см.

2. Прикладываем транспортир к точке A так, чтобы его центр совпал с точкой A, а нулевая отметка — с лучом AB. Отмеряем угол $100°$ и проводим из точки A луч под этим углом.

3. Прикладываем транспортир к точке B так, чтобы его центр совпал с точкой B, а нулевая отметка — с лучом BA. Отмеряем угол $20°$ и проводим из точки B луч под этим углом.

4. Точка пересечения двух построенных лучей является третьей вершиной треугольника. Обозначим её C. Треугольник ABC — искомый.

Ответ: треугольник построен согласно описанным шагам.

Определение вида треугольника

Сумма углов в треугольнике всегда равна $180°$. Нам известны два угла, прилежащие к стороне AB: $\angle A = 100°$ и $\angle B = 20°$. Найдем третий угол $\angle C$:

$\angle C = 180° - (\angle A + \angle B) = 180° - (100° + 20°) = 180° - 120° = 60°$

Таким образом, углы треугольника равны $100°$, $20°$ и $60°$.

Для определения вида треугольника проанализируем его углы и стороны:

• По углам: так как один из углов ($100°$) больше $90°$, треугольник является тупоугольным.
• По сторонам: так как все три угла треугольника имеют разную величину ($100° \neq 20° \neq 60°$), то и противолежащие им стороны также имеют разную длину. Следовательно, треугольник является разносторонним.

Ответ: данный треугольник — тупоугольный разносторонний.

Рис. 144

Рис. 145

176. На рисунке 145 $\triangle MKO = \triangle MPO$. Докажите, что $\triangle KOE = \triangle POE$.

177. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, одна сторона которого равна 6 см, а углы, прилежащие к этой стороне, — $90^\circ$ и $45^\circ$.

Для построения треугольника, у которого одна сторона равна 6 см, а прилежащие к ней углы равны 90° и 45°, необходимо выполнить следующие шаги, используя линейку и транспортир:
1. С помощью линейки начертите отрезок. Обозначим его концы буквами A и B. Длина этого отрезка должна быть 6 см.
2. Возьмите транспортир. Приложите его центр к точке A так, чтобы его прямое основание совпало с отрезком AB. Найдите на шкале транспортира отметку 90° и поставьте вспомогательную точку. Проведите из точки A луч, проходящий через эту вспомогательную точку. Этот луч будет перпендикулярен отрезку AB.
3. Теперь переместите транспортир к другому концу отрезка. Приложите центр транспортира к точке B так, чтобы его основание совпало с отрезком AB. Найдите на шкале отметку 45° и поставьте вторую вспомогательную точку. Проведите из точки B луч, проходящий через эту точку, так, чтобы он был направлен в ту же полуплоскость, что и первый луч (то есть чтобы лучи пересекались).
4. Точку, в которой пересеклись два построенных луча, обозначьте буквой C.
5. В результате вы получите треугольник ABC, который и является искомым. В нем сторона $AB = 6$ см, угол при вершине A, $\angle CAB = 90^\circ$, и угол при вершине B, $\angle CBA = 45^\circ$.

Дополнительно можно проанализировать свойства полученного треугольника. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Мы можем найти величину третьего угла, $\angle ACB$:
$\angle ACB = 180^\circ - (\angle CAB + \angle CBA) = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
Поскольку два угла в треугольнике ABC равны ($\angle CBA = \angle ACB = 45^\circ$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой. Сторона AC лежит напротив угла B, а сторона AB лежит напротив угла C. Следовательно, $AC = AB$.
Так как $AB = 6$ см, то и $AC = 6$ см.
Таким образом, построенный треугольник является прямоугольным (потому что $\angle A = 90^\circ$) и равнобедренным, с катетами AB и AC, равными 6 см.

Ответ: Чтобы построить требуемый треугольник, необходимо начертить отрезок длиной 6 см. От одного конца этого отрезка отложить угол 90°, а от другого — 45°, используя транспортир. Точка пересечения лучей, образующих данные углы, станет третьей вершиной треугольника. В результате построения получится прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами по 6 см.

177. На рисунке 146 $BM \perp AD$, $CK \perp AD$, $BM = CK$, $AM = KD$. Докажите, что $\Delta ABD = \Delta ADC$.

Рис. 146

178. Перерисуйте в тетрадь рисунок 149.

С помощью угольника и линейки найдите на прямой $l$ точку, равноудалённую от концов отрезка $AB$.

Рис. 149

Чтобы найти на прямой $l$ точку, равноудаленную от концов отрезка $AB$, необходимо воспользоваться свойством серединного перпендикуляра. Множество всех точек плоскости, равноудаленных от точек $A$ и $B$, представляет собой прямую, перпендикулярную отрезку $AB$ и проходящую через его середину (серединный перпендикуляр). Следовательно, искомая точка является точкой пересечения прямой $l$ и серединного перпендикуляра к отрезку $AB$.

Для построения этой точки с помощью линейки и угольника нужно выполнить следующие действия. Сначала находим середину отрезка $AB$. Для этого линейкой измеряем его длину и делим пополам, отмечая середину — назовем ее точкой $M$. Затем строим прямую, перпендикулярную $AB$ и проходящую через точку $M$. Для этого прикладываем линейку к отрезку $AB$, а к ней — угольник. Перемещая угольник вдоль линейки, совмещаем его второй перпендикулярный катет с точкой $M$ и проводим по нему прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Точка, в которой построенный серединный перпендикуляр пересекает прямую $l$, и есть искомая точка. Эта точка будет единственной, так как две непараллельные прямые (прямая $l$ и серединный перпендикуляр) пересекаются только в одной точке.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямой $l$ с серединным перпендикуляром к отрезку $AB$, построенным с помощью линейки и угольника.

178. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы соответственных углов равны.