Номер 3, страница 62 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 3, страница 62.

3. Каким свойством обладают точки серединного перпендикуляра отрезка?

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину.

Ключевое свойство всех точек, лежащих на серединном перпендикуляре, заключается в том, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Рассмотрим доказательство этого свойства. Пусть $m$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, а точка $M$ — середина $AB$. По определению, $AM = MB$ и прямая $m$ перпендикулярна $AB$ ($m \perp AB$).

Возьмём любую точку $C$ на прямой $m$ и соединим её с точками $A$ и $B$. Мы получим два треугольника: $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$.

Рассмотрим эти треугольники. Сторона $CM$ у них общая. Стороны $AM$ и $BM$ равны, так как $M$ — середина отрезка $AB$. Углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ — прямые (равны $90^\circ$), так как $m \perp AB$.

Таким образом, треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников), или, что то же самое для данного случая, по двум катетам.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон. Следовательно, гипотенуза $AC$ равна гипотенузе $BC$. То есть, $AC = BC$.

Это доказывает, что любая точка $C$ на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка $A$ и $B$.

Важно отметить, что верно и обратное утверждение: любая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре. Поэтому серединный перпендикуляр также определяют как геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек (концов отрезка).

Ответ: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

3. Каким свойством обладают точки серединного перпендикуляра?