Номер 179, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 179, страница 63.

179. Перерисуйте в тетрадь рисунок 150. С помощью угольника и линейки найдите точку, равноудалённую от точек $A$ и $B$, а также от точек $C$ и $D$.

Рис. 150

Чтобы найти точку, которая равноудалена от точек A и B, а также от точек C и D, необходимо найти точку пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AB и CD. Это следует из того, что геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Решение задачи с помощью угольника и линейки состоит из следующих шагов:

1. Построение серединного перпендикуляра к отрезку AB
С помощью линейки соединяем точки A и B. Находим середину отрезка AB. Это можно сделать, измерив его длину линейкой и отметив половину, или определив координаты по клеткам. Если принять левый нижний узел сетки за начало координат (0,0), то точка A будет иметь координаты (0, 1), а точка B — (3, 3). Середина отрезка AB, точка $M_1$, будет иметь координаты:
$M_1 = (\frac{0+3}{2}; \frac{1+3}{2}) = (1.5; 2)$.
Далее, с помощью угольника строим прямую, проходящую через точку $M_1$ и перпендикулярную отрезку AB. Эта прямая $l_1$ и есть серединный перпендикуляр.

2. Построение серединного перпендикуляра к отрезку CD
Аналогично, соединяем точки C и D. В той же системе координат точка C имеет координаты (4, 2), а точка D — (7, 0). Находим середину отрезка CD, точку $M_2$:
$M_2 = (\frac{4+7}{2}; \frac{2+0}{2}) = (5.5; 1)$.
Через точку $M_2$ с помощью угольника проводим прямую $l_2$, перпендикулярную отрезку CD.

3. Нахождение искомой точки
Искомая точка P — это точка пересечения построенных серединных перпендикуляров $l_1$ и $l_2$. При точном построении на бумаге мы найдем ее графически.

Для проверки и нахождения точных координат выполним аналитический расчет.
Найдем уравнение прямой $l_1$. Угловой коэффициент отрезка AB равен $k_{AB} = \frac{3-1}{3-0} = \frac{2}{3}$. Угловой коэффициент перпендикуляра $l_1$ будет $k_1 = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{3}{2}$. Уравнение прямой, проходящей через $M_1(1.5; 2)$: $y - 2 = -\frac{3}{2}(x - 1.5) \Rightarrow y = -1.5x + 4.25$.
Найдем уравнение прямой $l_2$. Угловой коэффициент отрезка CD равен $k_{CD} = \frac{0-2}{7-4} = -\frac{2}{3}$. Угловой коэффициент перпендикуляра $l_2$ будет $k_2 = -\frac{1}{k_{CD}} = \frac{3}{2}$. Уравнение прямой, проходящей через $M_2(5.5; 1)$: $y - 1 = \frac{3}{2}(x - 5.5) \Rightarrow y = 1.5x - 7.25$.
Теперь найдем точку пересечения P, решив систему уравнений:
$\begin{cases} y = -1.5x + 4.25 \\ y = 1.5x - 7.25 \end{cases}$
$-1.5x + 4.25 = 1.5x - 7.25 \Rightarrow 3x = 11.5 \Rightarrow x = \frac{11.5}{3} = \frac{23}{6}$.
$y = 1.5 \cdot (\frac{23}{6}) - 7.25 = \frac{3}{2} \cdot \frac{23}{6} - \frac{29}{4} = \frac{23}{4} - \frac{29}{4} = -\frac{6}{4} = -1.5$.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AB и CD. Для ее нахождения необходимо построить эти перпендикуляры с помощью линейки и угольника, как описано выше. Точные координаты этой точки $P(\frac{23}{6}, -1.5)$.

179. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к соответственным сторонам, равны.