Номер 169, страница 58 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 7. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 169, страница 58.

169. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Отрезок $BD$ разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника, периметры которых равны 32 см и 36 см. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $BD = 10$ см.

Пусть $P_{ABC}$ — периметр треугольника $ABC$, $P_{ABD}$ — периметр треугольника $ABD$, и $P_{BDC}$ — периметр треугольника $BDC$.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Запишем формулы для периметров данных треугольников:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$

$P_{ABD} = AB + AD + BD$

$P_{BDC} = BC + DC + BD$

По условию задачи, периметры двух меньших треугольников равны 32 см и 36 см, а длина отрезка $BD$ равна 10 см:

$P_{ABD} = 32$ см

$P_{BDC} = 36$ см

$BD = 10$ см

Точка $D$ лежит на стороне $AC$, следовательно, длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DC$:

$AC = AD + DC$

Сложим периметры треугольников $ABD$ и $BDC$:

$P_{ABD} + P_{BDC} = (AB + AD + BD) + (BC + DC + BD)$

Сгруппируем слагаемые:

$P_{ABD} + P_{BDC} = (AB + BC) + (AD + DC) + 2 \cdot BD$

Заменим сумму $(AD + DC)$ на $AC$:

$P_{ABD} + P_{BDC} = (AB + BC + AC) + 2 \cdot BD$

Выражение в скобках является периметром треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$). Таким образом, получаем:

$P_{ABD} + P_{BDC} = P_{ABC} + 2 \cdot BD$

Отсюда можно выразить искомый периметр треугольника $ABC$:

$P_{ABC} = P_{ABD} + P_{BDC} - 2 \cdot BD$

Подставим известные значения в формулу:

$P_{ABC} = 32 + 36 - 2 \cdot 10$

$P_{ABC} = 68 - 20$

$P_{ABC} = 48$ см

Ответ: 48 см.

169. На рисунке 140 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$, $AB = 8$ см, $BC = 6$ см. Найдите стороны $AD$ и $CD$ треугольника $ADC$.

Рис. 140