Номер 168, страница 58 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 7. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 168, страница 58.

168. 1) Может ли одна высота треугольника принадлежать ему, а две другие нет?

2) Может ли только одна высота треугольника совпадать с его стороной?

3) В каком треугольнике три высоты пересекаются в его вершине?

1) Может ли одна высота треугольника принадлежать ему, а две другие нет?

Да, может. Такая ситуация возникает в тупоугольном треугольнике.
Рассмотрим тупоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ — тупой (то есть $\angle C > 90^\circ$), а углы $A$ и $B$ — острые.

• Высота $h_c$, опущенная из вершины тупого угла $C$ на сторону $AB$, будет падать на саму сторону $AB$, так как углы $A$ и $B$ при основании острые. Следовательно, эта высота будет лежать внутри треугольника, то есть принадлежать ему.
• Высота $h_a$, опущенная из вершины острого угла $A$ на сторону $BC$, упадет не на сам отрезок $BC$, а на его продолжение за точку $C$, так как угол $C$ тупой. Таким образом, эта высота окажется вне треугольника.
• Аналогично, высота $h_b$, опущенная из вершины острого угла $B$ на сторону $AC$, упадет на продолжение стороны $AC$ за точку $C$. Эта высота также будет лежать вне треугольника.

Таким образом, в тупоугольном треугольнике только одна высота (проведенная из вершины тупого угла) принадлежит треугольнику, а две другие (проведенные из вершин острых углов) — нет.
Ответ: Да, в тупоугольном треугольнике.

2) Может ли только одна высота треугольника совпадать с его стороной?

Нет, не может.
Высота треугольника совпадает с его стороной только в том случае, если эта сторона перпендикулярна другой стороне. Пусть в треугольнике $ABC$ высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, совпадает со стороной $AB$. Это означает, что сторона $AB$ перпендикулярна стороне $BC$ ($AB \perp BC$), то есть угол $B$ — прямой ($\angle B = 90^\circ$).
В этом случае треугольник $ABC$ является прямоугольным. Рассмотрим все его высоты:

• Высота из вершины $A$ на сторону $BC$ — это катет $AB$.
• Высота из вершины $C$ на сторону $AB$ — это катет $BC$.
• Высота из вершины $B$ на гипотенузу $AC$ лежит внутри треугольника и не совпадает ни с одной из сторон.

Таким образом, если одна высота совпадает со стороной, то треугольник является прямоугольным, а в прямоугольном треугольнике со сторонами совпадают сразу две высоты (катеты). Невозможно, чтобы только одна высота совпадала со стороной.
Ответ: Нет, не может.

3) В каком треугольнике три высоты пересекаются в его вершине?

Три высоты треугольника (или их продолжения) всегда пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. Вопрос заключается в том, когда эта точка совпадает с одной из вершин треугольника.
Пусть в треугольнике $ABC$ ортоцентр совпадает с вершиной $C$.

• Высота, опущенная из вершины $A$, должна проходить через ортоцентр, то есть через точку $C$. Это означает, что прямая $AC$ является высотой, а значит, $AC \perp BC$. Следовательно, $\angle C = 90^\circ$.
• Высота, опущенная из вершины $B$, также должна проходить через точку $C$. Это означает, что прямая $BC$ является высотой, а значит, $BC \perp AC$. Это также означает, что $\angle C = 90^\circ$.
• Третья высота, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$, по определению выходит из вершины $C$.

Все три условия выполняются одновременно, если угол $C$ прямой. Таким образом, три высоты треугольника пересекаются в одной из его вершин, если этот треугольник — прямоугольный. Точкой пересечения высот является вершина прямого угла.
Ответ: В прямоугольном треугольнике (высоты пересекаются в вершине прямого угла).

168. На рисунке 139 $AB \perp BD$, $CD \perp BD$, точка $O$ – середина отрезка $BD$. Докажите, что $\triangle ABO = \triangle CDO$.

Рис. 138

Рис. 139