Страница 59 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

171. На рисунке 141 $KP = PE = EF = FT = 1$ см.

Какие равные отрезки есть ещё на этом рисунке? Найдите их длины.

Рис. 141

По условию задачи мы знаем, что отрезки $KP, PE, EF$ и $FT$ равны, и длина каждого из них составляет 1 см. Чтобы найти другие равные отрезки, нужно рассмотреть отрезки, состоящие из нескольких таких частей.

Отрезки, состоящие из двух частей (длиной 2 см)

Мы можем составить отрезки, объединив по два соседних отрезка длиной 1 см:

• Отрезок $KE$ состоит из отрезков $KP$ и $PE$. Его длина: $KE = KP + PE = 1 + 1 = 2$ см.
• Отрезок $PF$ состоит из отрезков $PE$ и $EF$. Его длина: $PF = PE + EF = 1 + 1 = 2$ см.
• Отрезок $ET$ состоит из отрезков $EF$ и $FT$. Его длина: $ET = EF + FT = 1 + 1 = 2$ см.

Таким образом, мы нашли группу из трех равных отрезков.

Ответ: $KE = PF = ET = 2$ см.

Отрезки, состоящие из трех частей (длиной 3 см)

Мы можем составить отрезки, объединив по три соседних отрезка длиной 1 см:

• Отрезок $KF$ состоит из отрезков $KP, PE$ и $EF$. Его длина: $KF = KP + PE + EF = 1 + 1 + 1 = 3$ см.
• Отрезок $PT$ состоит из отрезков $PE, EF$ и $FT$. Его длина: $PT = PE + EF + FT = 1 + 1 + 1 = 3$ см.

Таким образом, мы нашли еще одну группу равных отрезков.

Ответ: $KF = PT = 3$ см.

На рисунке также есть отрезок $KT$, состоящий из четырех частей, его длина $KT = 4$ см. Однако, поскольку он единственный отрезок такой длины, он не образует группу "равных отрезков".

171. На рисунке 142 $\angle BAO = \angle DCO, \angle BAC = \angle DCA$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle ACD$.

Рис. 142

172. Луч $BD$ разбивает угол $ABC$, равный $72^\circ$, на два угла $ABD$ и $CBD$ так, что $\angle ABD = 5\angle CBD$. Луч $BK$ проходит так, что луч $BA$ является биссектрисой угла $DBK$. Определите градусную меру и вид угла $DBK$.

По условию задачи, луч BD разбивает угол $\angle ABC$, равный $72^\circ$, на два угла $\angle ABD$ и $\angle CBD$. Таким образом, сумма их градусных мер равна градусной мере угла $\angle ABC$:
$\angle ABD + \angle CBD = 72^\circ$

Также известно соотношение между этими углами: $\angle ABD = 5\angle CBD$.
Пусть градусная мера угла $\angle CBD$ равна $x$. Тогда градусная мера угла $\angle ABD$ будет равна $5x$.

Составим и решим уравнение, подставив эти значения в первое равенство:
$5x + x = 72^\circ$
$6x = 72^\circ$
$x = \frac{72^\circ}{6}$
$x = 12^\circ$

Следовательно, мы нашли градусные меры углов:
$\angle CBD = x = 12^\circ$
$\angle ABD = 5x = 5 \cdot 12^\circ = 60^\circ$

Далее, по условию, луч BA является биссектрисой угла $\angle DBK$. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла. Это значит, что $\angle DBA = \angle ABK$, и угол $\angle DBK$ в два раза больше угла $\angle ABD$.
$\angle DBK = 2 \cdot \angle ABD$

Теперь мы можем определить градусную меру угла $\angle DBK$:
$\angle DBK = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$

Определим вид угла $\angle DBK$. Угол является тупым, если его градусная мера больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
Так как $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$, то угол $\angle DBK$ является тупым.

Ответ: Градусная мера угла DBK равна $120^\circ$, вид угла — тупой.

172. На сторонах угла с вершиной в точке $B$ отмечены точки $A$ и $C$, а на его биссектрисе — точка $D$ так, что $\angle ADB = \angle CDB$. Докажите, что $AB = BC$.

173. Разрежьте каждую из фигур, изображённых на рисунке 142, на две равные фигуры (разрезать не обязательно по линиям сетки).

Рис. 142

Для решения этой задачи необходимо для каждой фигуры найти такой разрез, который делит её на две равные (конгруэнтные) части. Это означает, что полученные две фигуры можно совместить друг с другом с помощью наложения, поворота или отражения. Во всех представленных случаях фигуры можно разделить на две части, конгруэнтные друг другу при повороте на 180° относительно некоторой точки, называемой центром симметрии фигуры.

а

Данная фигура состоит из 10 квадратных ячеек. Следовательно, каждая из двух равных частей должна иметь площадь, эквивалентную 5 ячейкам. Фигура обладает центром симметрии, который находится в точке, где сходятся углы четырех центральных квадратов. Разрез представляет собой Z-образную линию, которая также симметрична относительно этого центра. Линия разреза соединяет середину левой границы фигуры с серединой правой границы.

Ниже показан разрез на фигуре:

Ответ: Разрез показан на рисунке выше красной пунктирной линией.

б

Эта фигура состоит из 6 полных квадратов и двух треугольников, каждый из которых равен половине квадрата. Общая площадь фигуры равна $6 + 2 \cdot 0.5 = 7$ квадратным единицам. Каждая из двух равных частей должна иметь площадь 3.5 квадратных единицы. Фигура симметрична относительно своего геометрического центра. Простейший разрез — это прямая горизонтальная линия, проходящая через этот центр.

Ниже показан разрез на фигуре:

Ответ: Разрез показан на рисунке выше красной пунктирной линией.

в

Фигура состоит из 12 квадратных ячеек, поэтому каждая равная часть должна иметь площадь в 6 ячеек. Эта фигура, как и предыдущие, имеет центр симметрии. Разрез представляет собой ступенчатую линию, которая сама по себе симметрична относительно центра фигуры.

Ниже показан разрез на фигуре:

Ответ: Разрез показан на рисунке выше красной пунктирной линией.

г

Площадь этой фигуры равна 5 квадратным единицам (4 полных квадрата и 2 треугольника по 0.5). Каждая часть должна иметь площадь 2.5 единицы. Фигура имеет центр симметрии, расположенный в центре среднего прямоугольника $1 \times 2$. Горизонтальная прямая, проходящая через этот центр, делит фигуру на две равные части.

Ниже показан разрез на фигуре:

Ответ: Разрез показан на рисунке выше красной пунктирной линией.

д

Площадь данной фигуры равна 8 квадратным единицам (она состоит из 7 полных квадратов и одного треугольника площадью в 1 квадрат). Каждая из двух равных частей должна иметь площадь 4 единицы. Фигура обладает центром симметрии. Разрез представляет собой прямую линию, проходящую через этот центр и соединяющую вершину левого треугольника с внутренним углом на противоположной стороне фигуры.

Ниже показан разрез на фигуре:

Ответ: Разрез показан на рисунке выше красной пунктирной линией.

173. Через точку M, принадлежащую биссектрисе угла с вершиной в точке O, провели прямую, перпендикулярную биссектрисе. Эта прямая пересекает стороны данного угла в точках A и B. Докажите, что $AM = MB$.