Страница 64 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

183. На рисунке 154 $AB = CD$, $\angle 1 = \angle 2$, $AD = 7$ см, $\angle C = 63^{\circ}$. Найдите отрезок $BC$ и угол $A$.

Рис. 154

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle CDB $, изображенные на рисунке.

Согласно условию задачи, нам дано:

1. Сторона $ AB $ равна стороне $ CD $ ($ AB = CD $).

2. Угол $ \angle 1 $ равен углу $ \angle 2 $ ($ \angle ABD = \angle CDB $).

3. Сторона $ BD $ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $ \triangle ABD $ равен треугольнику $ \triangle CDB $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы (стороны и углы) равны.

Найдем отрезок BC

Сторона $ BC $ в треугольнике $ \triangle CDB $ является соответственной стороне $ AD $ в треугольнике $ \triangle ABD $. Следовательно, их длины равны: $ BC = AD $. Поскольку по условию $ AD = 7 $ см, то и $ BC = 7 $ см.

Ответ: 7 см.

Найдем угол А

Угол $ A $ в треугольнике $ \triangle ABD $ является соответственным углу $ C $ в треугольнике $ \triangle CDB $. Следовательно, их градусные меры равны: $ \angle A = \angle C $. Поскольку по условию $ \angle C = 63^\circ $, то и $ \angle A = 63^\circ $.

Ответ: $ 63^\circ $.

183. Для нахождения расстояния от точки B до колокольни A, расположенной на другом берегу реки (рис. 148), с помощью вешек, рулетки и астролябии отметили на местности точки C, D и E так, что B, C и D лежат на одной прямой, причём точка C является серединой отрезка BD, и наметили прямую AE, проходящую через точку C, причём $ \angle ABC = \angle CDE $. Потом, измерив одну из сторон треугольника CDE, определили расстояние от B до A. Какую сторону измерили? Ответ обоснуйте.

Рис. 148

184. На рисунке 155 $AO = OD$, $BO = OC$. Найдите сторону $CD$ и угол $\angle OCD$ треугольника $OCD$, если $AB = 8$ см, $\angle OBA = 81^\circ$.

Рис. 155

Для решения задачи рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$.

В этих треугольниках:

1. $AO = OD$ (по условию).
2. $BO = OC$ (по условию).
3. $\angle AOB = \angle DOC$ (как вертикальные углы при пересечении отрезков $AD$ и $BC$).

Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle DOC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Найдите сторону CD

Из равенства треугольников $\triangle AOB = \triangle DOC$ следует равенство их соответственных элементов. Сторона $CD$ в треугольнике $\triangle DOC$ соответствует стороне $AB$ в треугольнике $\triangle AOB$. По условию задачи $AB = 8$ см, следовательно, сторона $CD$ также равна 8 см.

Ответ: $CD = 8$ см.

Найдите угол OCD

Так как треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$ равны, их соответственные углы также равны. Угол $\angle OCD$ в треугольнике $\triangle DOC$ соответствует углу $\angle OBA$ в треугольнике $\triangle AOB$ (они лежат против равных сторон $OD$ и $OA$ соответственно). По условию $\angle OBA = 81^\circ$, следовательно, $\angle OCD$ также равен $81^\circ$.

Ответ: $\angle OCD = 81^\circ$.

184. Для определения ширины озера (рис. 149) на его берегу отметили точки $A$ и $B$, а потом ещё точки $C$, $D$ и $O$ так, что точка $O$ — общая середина отрезков $AC$ и $BD$. Как можно определить ширину озера? Ответ обоснуйте.

Рис. 149

185. Дано: $OA = OC$, $OB = OD$ (рис. 156). Докажите, что $\angle OAD = \angle OCB$.

Рис. 156

Для доказательства равенства углов $∠OAD$ и $∠OCB$ рассмотрим треугольники $△OAD$ и $△OCB$.

Сравним эти треугольники на основе данных из условия задачи:

1. $OA = OC$ (по условию).

2. $OD = OB$ (по условию).

3. $∠AOD$ — общий угол для обоих треугольников, следовательно, $∠AOD = ∠COB$.

Поскольку две стороны и угол между ними одного треугольника ($OA$, $OD$ и $∠AOD$ в $△OAD$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($OC$, $OB$ и $∠COB$ в $△OCB$), то эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.

Таким образом, $△OAD ≅ △OCB$.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. Угол $∠OAD$ в треугольнике $△OAD$ лежит напротив стороны $OD$. Угол $∠OCB$ в треугольнике $△OCB$ лежит напротив стороны $OB$.

Так как по условию $OD = OB$, то и соответствующие углы $∠OAD$ и $∠OCB$ равны.

Следовательно, $∠OAD = ∠OCB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $∠OAD = ∠OCB$ доказано. Оно следует из равенства треугольников $△OAD$ и $△OCB$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

185. Докажите равенство двух треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углу между этой стороной и медианой.

186. Дано: $AC = BD$, $\angle BAC = \angle ABD$ (рис. 157). Докажите, что $AD = BC$.

Рис. 157

Рассмотрим треугольники $ \triangle BAC $ и $ \triangle ABD $.

В этих треугольниках:

1. $ AC = BD $ (согласно условию задачи).

2. $ \angle BAC = \angle ABD $ (согласно условию задачи).

3. Сторона $ AB $ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, $ \triangle BAC = \triangle ABD $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Поскольку треугольники равны, то их соответствующие стороны также равны. Сторона $ BC $ в треугольнике $ \triangle BAC $ и сторона $ AD $ в треугольнике $ \triangle ABD $ являются соответствующими, так как они лежат напротив равных углов $ \angle BAC $ и $ \angle ABD $ соответственно.

Следовательно, $ AD = BC $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ AD = BC $ доказано.

186. Докажите равенство двух треугольников по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе этого угла.

187. Дано: $\angle ADC = \angle ADB$, $BD = CD$ (рис. 158). Докажите, что $AB = AC$.

Рис. 158

Для доказательства равенства сторон $AB$ и $AC$ рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$, образованные отрезком $AD$.

Сравним эти треугольники по известным нам элементам:

1. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников ($\triangle ABD$ и $\triangle ACD$).
2. Стороны $BD$ и $CD$ равны по условию задачи ($BD = CD$).
3. Углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$ равны по условию задачи ($\angle ADB = \angle ADC$). Эти углы являются углами между сторонами $AD$, $BD$ и $AD$, $CD$ соответственно.

Таким образом, мы видим, что две стороны и угол между ними одного треугольника ($\triangle ABD$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($\triangle ACD$).

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равны.

$\triangle ABD \cong \triangle ACD$

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle ADB$, а сторона $AC$ лежит напротив угла $\angle ADC$. Поскольку $\angle ADB = \angle ADC$, то и соответствующие им стороны $AB$ и $AC$ также равны.

Следовательно, $AB = AC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AB = AC$ доказано, так как треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

187. Докажите равенство двух треугольников по биссектрисе, углу, из вершины которого проведена эта биссектриса, и углу, образованному биссектрисой со стороной, к которой она проведена.

188. На рисунке 159 $AB \perp BD$, $CD \perp BD$, точка $O$ – середина отрезка $BD$.

Докажите, что $\triangle ABO = \triangle CDO$.

Рис. 159

Для доказательства равенства треугольников $ \triangle ABO $ и $ \triangle CDO $ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Рассмотрим эти два треугольника и сравним их элементы.

1. Согласно условию, $ AB \perp BD $ (AB перпендикулярно BD), что означает $ \angle ABO = 90^\circ $. Аналогично, $ CD \perp BD $, что означает $ \angle CDO = 90^\circ $. Таким образом, мы можем утверждать, что $ \angle ABO = \angle CDO $.

2. По условию, точка $ O $ является серединой отрезка $ BD $. По определению середины отрезка, это означает, что $ BO = DO $.

3. Углы $ \angle AOB $ и $ \angle COD $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении двух прямых (в данном случае, отрезков $ AC $ и $ BD $). По свойству вертикальных углов, они всегда равны: $ \angle AOB = \angle COD $.

Итак, мы установили, что в треугольниках $ \triangle ABO $ и $ \triangle CDO $ есть соответственно равные сторона и два прилежащих к ней угла:
- Сторона $ BO $ в $ \triangle ABO $ равна стороне $ DO $ в $ \triangle CDO $.
- Угол $ \angle ABO $, прилежащий к стороне $ BO $, равен углу $ \angle CDO $, прилежащему к стороне $ DO $.
- Угол $ \angle AOB $, также прилежащий к стороне $ BO $, равен углу $ \angle COD $, прилежащему к стороне $ DO $.

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то по второму признаку равенства треугольников $ \triangle ABO = \triangle CDO $.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle ABO = \triangle CDO $ доказано.

188. Серединный перпендикуляр стороны $BC$ треугольника $ABC$ пересекает его сторону $AB$ в точке $D$. Найдите длину отрезка $AD$, если $CD=4$ см, $AB=7$ см.

189. На рисунке 160 луч OC – биссектриса угла AOB, прямые AB и OC перпендикулярны. Докажите, что $\triangle AMO = \triangle BMO$.

Рис. 160

Для доказательства равенства треугольников $ \triangle AMO $ и $ \triangle BMO $ рассмотрим их и сравним соответствующие элементы.

1. По условию задачи, луч $ OC $ является биссектрисой угла $ \angle AOB $. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Следовательно, $ \angle AOM = \angle BOM $.

2. Также по условию, прямые $ AB $ и $ OC $ перпендикулярны ($ AB \perp OC $). Это означает, что углы, образованные при их пересечении в точке $ M $, являются прямыми, то есть $ \angle AMO = \angle BMO = 90^\circ $.

3. Сторона $ OM $ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, мы видим, что сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($ \triangle AMO $) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($ \triangle BMO $):

• $ \angle AOM = \angle BOM $
• $ OM $ — общая сторона
• $ \angle AMO = \angle BMO $

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $ \triangle AMO = \triangle BMO $.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle AMO $ и $ \triangle BMO $ доказано. Треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), так как у них есть общая сторона $ OM $, а прилежащие к ней углы соответственно равны: $ \angle AOM = \angle BOM $ (поскольку $ OC $ — биссектриса) и $ \angle AMO = \angle BMO = 90^\circ $ (поскольку $ AB \perp OC $).

189. Серединный перпендикуляр стороны $AB$ треугольника $ABC$ пересекает его сторону $BC$ в точке $M$. Найдите длину стороны $AC$ треугольника $ABC$, если $BC = 16$ см, а периметр треугольника $AMC$ равен $26$ см.