Страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

217. Истинно ли утверждение: если через каждые две из трёх данных точек провести прямую, то получим три прямые?

Данное утверждение не всегда является истинным. Его истинность зависит от взаимного расположения трёх данных точек на плоскости. Чтобы дать полный ответ, необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Три точки не лежат на одной прямой.

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, которые не лежат на одной прямой (такие точки называются неколлинеарными). Согласно аксиоме планиметрии, через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну. Проведём прямые через каждую пару точек:

• прямая $l_1$ через точки $A$ и $B$;
• прямая $l_2$ через точки $B$ и $C$;
• прямая $l_3$ через точки $A$ и $C$.

Поскольку по условию этого случая точка $C$ не лежит на прямой, проходящей через $A$ и $B$, то прямые $l_1$ и $l_2$ (а также $l_1$ и $l_3$) — различны. Аналогично, точка $A$ не лежит на прямой, проходящей через $B$ и $C$, поэтому прямые $l_2$ и $l_3$ также различны. Таким образом, все три прямые $l_1, l_2, l_3$ не совпадают. В этом случае мы действительно получаем три различные прямые.

Случай 2: Три точки лежат на одной прямой.

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, которые лежат на одной прямой $m$ (такие точки называются коллинеарными). Проведём прямые через каждую пару точек:

• прямая через точки $A$ и $B$ совпадёт с прямой $m$;
• прямая через точки $B$ и $C$ также совпадёт с прямой $m$;
• прямая через точки $A$ и $C$ тоже совпадёт с прямой $m$.

В этом случае, какую бы пару точек мы ни выбрали, прямая, проходящая через них, будет одной и той же — прямой $m$. Таким образом, мы получаем только одну прямую, а не три.

Поскольку существует случай (когда точки коллинеарны), в котором утверждение не выполняется, то в общем виде это утверждение является ложным. В математике утверждение считается истинным, только если оно выполняется для всех возможных случаев без исключения.

Ответ: Нет, утверждение не является истинным (оно ложно), так как если три точки лежат на одной прямой, то через них можно провести только одну прямую.

217. В треугольнике MKE известно, что $MK = ME$. На стороне KE отмечены точки F и N так, что точка N лежит между точками F и E, причём $\angle KMF = \angle EMN$. Докажите, что $\angle MFN = \angle MNF$.

218. Лучи OD и OF – биссектрисы смежных углов AOB и BOC соответственно, $\angle AOD : \angle FOC = 2 : 7$. Найдите $\angle AOD$ и $\angle FOC$.

Поскольку углы $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $ являются смежными, их сумма равна $ 180^\circ $:
$ \angle AOB + \angle BOC = 180^\circ $

Луч $ OD $ — биссектриса угла $ \angle AOB $, следовательно, $ \angle AOB = 2 \cdot \angle AOD $.
Луч $ OF $ — биссектриса угла $ \angle BOC $, следовательно, $ \angle BOC = 2 \cdot \angle FOC $.

Подставим эти выражения в первое уравнение:
$ 2 \cdot \angle AOD + 2 \cdot \angle FOC = 180^\circ $
Вынесем общий множитель за скобки и разделим обе части уравнения на 2:
$ 2 \cdot (\angle AOD + \angle FOC) = 180^\circ $
$ \angle AOD + \angle FOC = 90^\circ $

По условию задачи дано отношение $ \angle AOD : \angle FOC = 2 : 7 $. Введем коэффициент пропорциональности $ x $. Тогда можно выразить углы следующим образом:
$ \angle AOD = 2x $
$ \angle FOC = 7x $

Подставим эти выражения в полученное ранее равенство:
$ 2x + 7x = 90^\circ $
$ 9x = 90^\circ $
$ x = \frac{90^\circ}{9} $
$ x = 10^\circ $

Теперь найдем градусные меры искомых углов:
$ \angle AOD = 2x = 2 \cdot 10^\circ = 20^\circ $
$ \angle FOC = 7x = 7 \cdot 10^\circ = 70^\circ $

Ответ: $ \angle AOD = 20^\circ $, $ \angle FOC = 70^\circ $.

218. На боковых сторонах $CA$ и $CB$ равнобедренного треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $CK$ и $CM$. Докажите, что:

1) $\Delta AMC = \Delta BKC;$

2) $\Delta AMB = \Delta BKA.$

219. Разделите каждую из фигур, изображённых на рисунке 174, по линиям сетки на некоторые четыре равные части так, чтобы в каждой части был ровно один кружок.

Рис. 174

Для решения задачи необходимо разделить каждую фигуру на четыре равные части так, чтобы в каждой части находился ровно один кружок. "Равные части" в таких головоломках обычно означают конгруэнтные, то есть одинаковые по форме и размеру.

Левая фигура

При анализе левой фигуры возникает сложность. Фигура состоит из 10 квадратных клеток. Разделить область из 10 клеток на 4 равные части невозможно, так как 10 не делится нацело на 4 ($10 \div 4 = 2.5$). Это говорит о возможной опечатке в условии задачи.

Наиболее вероятная опечатка заключается в том, что фигура должна была быть прямоугольником 3x4, состоящим из 12 клеток. В этом случае каждая из четырех равных частей состояла бы из 3 клеток (тримино).

Однако, даже если предположить, что фигура — это прямоугольник 3x4, а расположение кружков соответствует изображению, то разделить его на четыре конгруэнтные части (одинаковые по форме) невозможно.

Единственное возможное решение существует, если ослабить требование "равенства" и считать части равными, если у них одинаковая площадь (равное количество клеток), но не обязательно одинаковая форма. При таком допущении можно разделить прямоугольник 3x4 на четыре части по 3 клетки в каждой.

Примем, что фигура является прямоугольником 3x4 (12 клеток), а части должны иметь равную площадь. Обозначим клетки координатами (ряд, столбец), где (1,1) — левая верхняя клетка.

• Кружки расположены в клетках: (1,1), (2,2), (2,3), (3,2).
• Часть 1 (с кружком в (1,1)): клетки (1,1), (2,1), (3,1). Это I-тримино.
• Часть 2 (с кружком в (2,2)): клетки (1,2), (2,2), (1,3). Это L-тримино.
• Часть 3 (с кружком в (2,3)): клетки (2,3), (3,3), (4,3). Это I-тримино.
• Часть 4 (с кружком в (3,2)): клетки (3,2), (4,1), (4,2). Это L-тримино.

Ниже представлена визуализация данного решения.

Ответ:

Правая фигура

Правая фигура представляет собой квадрат 4x4, состоящий из 16 клеток. Его нужно разделить на 4 равные части, значит, каждая часть будет состоять из $16 \div 4 = 4$ клеток (тетромино). В этом случае задача имеет решение, где все четыре части являются конгруэнтными (одинаковыми по форме).

Обозначим клетки координатами (ряд, столбец). Кружки находятся в клетках (2,3), (3,1), (3,2) и (3,3). Фигуру можно разделить на четыре одинаковых J-образных тетромино.

• Часть 1 (с кружком в (3,2)): клетки (1,1), (1,2), (2,2), (3,2).
• Часть 2 (с кружком в (3,1)): клетки (2,1), (3,1), (4,1), (4,2).
• Часть 3 (с кружком в (2,3)): клетки (1,3), (2,3), (1,4), (2,4).
• Часть 4 (с кружком в (3,3)): клетки (3,3), (3,4), (4,3), (4,4).

Примечание: существует несколько других правильных решений этой головоломки с другими формами тетромино. Представленное решение является одним из возможных.

Ответ:

219. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ на медиане $BD$ отметили произвольную точку $M$. Докажите, что:

1) $\triangle AMB = \triangle CMB$;

2) $\triangle AMD = \triangle CMD$.