Номер 217, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 217, страница 68.

217. Истинно ли утверждение: если через каждые две из трёх данных точек провести прямую, то получим три прямые?

Данное утверждение не всегда является истинным. Его истинность зависит от взаимного расположения трёх данных точек на плоскости. Чтобы дать полный ответ, необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Три точки не лежат на одной прямой.

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, которые не лежат на одной прямой (такие точки называются неколлинеарными). Согласно аксиоме планиметрии, через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну. Проведём прямые через каждую пару точек:

• прямая $l_1$ через точки $A$ и $B$;
• прямая $l_2$ через точки $B$ и $C$;
• прямая $l_3$ через точки $A$ и $C$.

Поскольку по условию этого случая точка $C$ не лежит на прямой, проходящей через $A$ и $B$, то прямые $l_1$ и $l_2$ (а также $l_1$ и $l_3$) — различны. Аналогично, точка $A$ не лежит на прямой, проходящей через $B$ и $C$, поэтому прямые $l_2$ и $l_3$ также различны. Таким образом, все три прямые $l_1, l_2, l_3$ не совпадают. В этом случае мы действительно получаем три различные прямые.

Случай 2: Три точки лежат на одной прямой.

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, которые лежат на одной прямой $m$ (такие точки называются коллинеарными). Проведём прямые через каждую пару точек:

• прямая через точки $A$ и $B$ совпадёт с прямой $m$;
• прямая через точки $B$ и $C$ также совпадёт с прямой $m$;
• прямая через точки $A$ и $C$ тоже совпадёт с прямой $m$.

В этом случае, какую бы пару точек мы ни выбрали, прямая, проходящая через них, будет одной и той же — прямой $m$. Таким образом, мы получаем только одну прямую, а не три.

Поскольку существует случай (когда точки коллинеарны), в котором утверждение не выполняется, то в общем виде это утверждение является ложным. В математике утверждение считается истинным, только если оно выполняется для всех возможных случаев без исключения.

Ответ: Нет, утверждение не является истинным (оно ложно), так как если три точки лежат на одной прямой, то через них можно провести только одну прямую.

217. В треугольнике MKE известно, что $MK = ME$. На стороне KE отмечены точки F и N так, что точка N лежит между точками F и E, причём $\angle KMF = \angle EMN$. Докажите, что $\angle MFN = \angle MNF$.