Номер 5, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 5, страница 72.

5. Сформулируйте свойство углов равнобедренного треугольника.

Основное свойство углов равнобедренного треугольника формулируется следующим образом: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Рассмотрим подробное доказательство этой теоремы.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $, в котором боковые стороны равны: $ AB = BC $. Сторона $ AC $ является основанием. Нам необходимо доказать, что углы при основании равны, то есть $ \angle BAC = \angle BCA $.

1. Проведем из вершины $ B $ биссектрису $ BD $ к основанию $ AC $. По определению биссектрисы, она делит угол $ \angle ABC $ на два равных угла: $ \angle ABD = \angle CBD $.

2. Биссектриса $ BD $ разделила исходный треугольник $ \triangle ABC $ на два треугольника: $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBD $.

3. Сравним эти два треугольника по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• $ AB = BC $ — по условию, так как $ \triangle ABC $ является равнобедренным.
• $ BD $ — общая сторона для обоих треугольников.
• $ \angle ABD = \angle CBD $ — по построению, так как $ BD $ является биссектрисой.

4. Так как два треугольника ($ \triangle ABD $ и $ \triangle CBD $) равны, то равны и все их соответствующие элементы, включая углы. Угол $ \angle BAD $ в треугольнике $ \triangle ABD $ соответствует углу $ \angle BCD $ в треугольнике $ \triangle CBD $. Следовательно, $ \angle BAD = \angle BCD $.

5. Поскольку угол $ \angle BAD $ является тем же углом, что и $ \angle BAC $, а угол $ \angle BCD $ — тем же, что и $ \angle BCA $, мы доказали, что $ \angle BAC = \angle BCA $.

Таким образом, свойство доказано.

Ответ: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

5. Сформулируйте свойство углов равнобедренного треугольника.