Номер 220, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 220, страница 72.

220. Начертите:

1) разносторонний остроугольный треугольник;

2) равнобедренный прямоугольный треугольник;

3) равнобедренный тупоугольный треугольник.

1) разносторонний остроугольный треугольник;

Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$.

Чтобы начертить разносторонний остроугольный треугольник, необходимо соблюсти два условия:

1. Все стороны ($a, b, c$) должны иметь разную длину: $a \neq b \neq c$.
2. Все углы должны быть меньше $90^\circ$. Для этого достаточно, чтобы для самой длинной стороны (например, $c$) выполнялось неравенство из теоремы косинусов: $a^2 + b^2 > c^2$.

Пример построения:

Возьмем треугольник со сторонами 5 см, 6 см и 7 см.
1. Проверим, что он разносторонний: $5 \neq 6 \neq 7$. Условие выполняется.
2. Проверим, что он остроугольный. Самая длинная сторона $c=7$ см. Проверим неравенство: $5^2 + 6^2 > 7^2$. Вычисляем: $25 + 36 > 49$, что дает $61 > 49$. Неравенство верно, значит, угол напротив самой длинной стороны — острый. Следовательно, и остальные углы треугольника тоже острые.

Ответ: Начерчен разносторонний остроугольный треугольник $ABC$, у которого все стороны разной длины и все углы острые.

2) равнобедренный прямоугольный треугольник;

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой ($90^\circ$).

В равнобедренном прямоугольном треугольнике равными сторонами являются катеты (стороны, образующие прямой угол). Углы при основании (гипотенузе) такого треугольника всегда равны $45^\circ$ каждый, так как $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Порядок построения:

1. Начертите прямой угол с вершиной в точке $C$.
2. На лучах, образующих этот угол, отложите два равных отрезка $CA$ и $CB$.
3. Соедините точки $A$ и $B$.

Треугольник $ABC$ будет равнобедренным ($CA = CB$) и прямоугольным ($\angle C = 90^\circ$).

Ответ: Начерчен равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$, у которого катеты $CA$ и $CB$ равны, а угол $C$ прямой.

3) равнобедренный тупоугольный треугольник.

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны. Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой (больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$).

В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине (угол между равными боковыми сторонами). Если бы угол при основании был тупым, то сумма двух углов при основании уже превысила бы $180^\circ$, что для треугольника невозможно.

Порядок построения:

1. Начертите тупой угол с вершиной в точке $A$, например, $120^\circ$.
2. На сторонах этого угла отложите от вершины $A$ два равных отрезка $AB$ и $AC$.
3. Соедините точки $B$ и $C$.

Полученный треугольник $ABC$ будет равнобедренным ($AB = AC$) и тупоугольным ($\angle A > 90^\circ$).

Ответ: Начерчен равнобедренный тупоугольный треугольник $ABC$, у которого боковые стороны $AB$ и $AC$ равны, а угол при вершине $A$ — тупой.

220. Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённые из углов при основании, равны.