Номер 6, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 6, страница 72.

6. Сформулируйте свойство биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является одновременно его медианой и высотой.

Доказательство:

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны ($AB = BC$), а $AC$ — основание. Проведём из вершины $B$ к основанию $AC$ биссектрису $BD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

• $AB = BC$ по определению равнобедренного треугольника.
• $BD$ — общая сторона.
• $\angle ABD = \angle CBD$, так как $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

1. $AD = CD$. Это означает, что $BD$ делит основание $AC$ пополам, то есть $BD$ является медианой треугольника $ABC$.
2. $\angle ADB = \angle CDB$. Так как эти углы смежные, их сумма равна $180^\circ$. Поскольку они равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что $BD$ перпендикулярна основанию $AC$, то есть $BD$ является высотой треугольника $ABC$.

Таким образом, доказано, что биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является его медианой и высотой.

Ответ: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

6. Сформулируйте свойство биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённой к основанию.