Номер 219, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 219, страница 68.

219. Разделите каждую из фигур, изображённых на рисунке 174, по линиям сетки на некоторые четыре равные части так, чтобы в каждой части был ровно один кружок.

Рис. 174

Для решения задачи необходимо разделить каждую фигуру на четыре равные части так, чтобы в каждой части находился ровно один кружок. "Равные части" в таких головоломках обычно означают конгруэнтные, то есть одинаковые по форме и размеру.

Левая фигура

При анализе левой фигуры возникает сложность. Фигура состоит из 10 квадратных клеток. Разделить область из 10 клеток на 4 равные части невозможно, так как 10 не делится нацело на 4 ($10 \div 4 = 2.5$). Это говорит о возможной опечатке в условии задачи.

Наиболее вероятная опечатка заключается в том, что фигура должна была быть прямоугольником 3x4, состоящим из 12 клеток. В этом случае каждая из четырех равных частей состояла бы из 3 клеток (тримино).

Однако, даже если предположить, что фигура — это прямоугольник 3x4, а расположение кружков соответствует изображению, то разделить его на четыре конгруэнтные части (одинаковые по форме) невозможно.

Единственное возможное решение существует, если ослабить требование "равенства" и считать части равными, если у них одинаковая площадь (равное количество клеток), но не обязательно одинаковая форма. При таком допущении можно разделить прямоугольник 3x4 на четыре части по 3 клетки в каждой.

Примем, что фигура является прямоугольником 3x4 (12 клеток), а части должны иметь равную площадь. Обозначим клетки координатами (ряд, столбец), где (1,1) — левая верхняя клетка.

• Кружки расположены в клетках: (1,1), (2,2), (2,3), (3,2).
• Часть 1 (с кружком в (1,1)): клетки (1,1), (2,1), (3,1). Это I-тримино.
• Часть 2 (с кружком в (2,2)): клетки (1,2), (2,2), (1,3). Это L-тримино.
• Часть 3 (с кружком в (2,3)): клетки (2,3), (3,3), (4,3). Это I-тримино.
• Часть 4 (с кружком в (3,2)): клетки (3,2), (4,1), (4,2). Это L-тримино.

Ниже представлена визуализация данного решения.

Ответ:

●
	●	●
	●

Правая фигура

Правая фигура представляет собой квадрат 4x4, состоящий из 16 клеток. Его нужно разделить на 4 равные части, значит, каждая часть будет состоять из $16 \div 4 = 4$ клеток (тетромино). В этом случае задача имеет решение, где все четыре части являются конгруэнтными (одинаковыми по форме).

Обозначим клетки координатами (ряд, столбец). Кружки находятся в клетках (2,3), (3,1), (3,2) и (3,3). Фигуру можно разделить на четыре одинаковых J-образных тетромино.

• Часть 1 (с кружком в (3,2)): клетки (1,1), (1,2), (2,2), (3,2).
• Часть 2 (с кружком в (3,1)): клетки (2,1), (3,1), (4,1), (4,2).
• Часть 3 (с кружком в (2,3)): клетки (1,3), (2,3), (1,4), (2,4).
• Часть 4 (с кружком в (3,3)): клетки (3,3), (3,4), (4,3), (4,4).

Примечание: существует несколько других правильных решений этой головоломки с другими формами тетромино. Представленное решение является одним из возможных.

Ответ:

		●
●	●	●

219. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ на медиане $BD$ отметили произвольную точку $M$. Докажите, что:

1) $\triangle AMB = \triangle CMB$;

2) $\triangle AMD = \triangle CMD$.