Номер 216, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 216, страница 67.

216. На одной стороне угла с вершиной в точке $O$ (рис. 173) отмечены точки $A$ и $B$, а на другой — точки $C$ и $D$ так, что $OA = OC$, $AB = CD$.

Докажите, что луч $OM$ является биссектрисой угла $BOD$, где $M$ — точка пересечения отрезков $AD$ и $BC$.

Рис. 173

Рассмотрим треугольники $\triangle OAD$ и $\triangle OCB$. По условию задачи дано, что $OA = OC$ и $AB = CD$. Поскольку точки A и B лежат на одной стороне угла, а C и D — на другой, то длины отрезков OB и OD можно выразить как $OB = OA + AB$ и $OD = OC + CD$. Из равенства исходных отрезков следует, что $OB = OD$. Угол $\angle BOD$ является общим для обоих треугольников. Таким образом, треугольники $\triangle OAD$ и $\triangle OCB$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства $\triangle OAD = \triangle OCB$ следует равенство их соответственных углов: $\angle OAD = \angle OCB$ и $\angle ODA = \angle OBC$.

Далее рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CDM$. У них $AB = CD$ по условию. Угол $\angle MAB$ совпадает с углом $\angle OAD$, а угол $\angle MCD$ совпадает с углом $\angle OCB$, следовательно, $\angle MAB = \angle MCD$. Аналогично, угол $\angle MBA$ (или $\angle ABM$) совпадает с углом $\angle OBC$, а угол $\angle MDC$ (или $\angle CDM$) совпадает с углом $\angle ODA$, следовательно, $\angle ABM = \angle CDM$. Таким образом, треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CDM$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства $\triangle ABM = \triangle CDM$ следует равенство их соответственных сторон: $BM = DM$.

Наконец, рассмотрим треугольники $\triangle OBM$ и $\triangle ODM$. Мы установили, что $OB = OD$ и $BM = DM$. Сторона $OM$ у этих треугольников общая. Следовательно, треугольники $\triangle OBM$ и $\triangle ODM$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства $\triangle OBM = \triangle ODM$ следует равенство их соответственных углов: $\angle BOM = \angle DOM$. Это по определению означает, что луч OM является биссектрисой угла $\angle BOD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

216. На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $K$ так, что точка $M$ лежит между точками $A$ и $K$, причём $AM = CK$. Докажите, что $MBK$ – равнобедренный.