Номер 211, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 211, страница 67.

211. Докажите равенство двух треугольников по биссектрисе, углу, из вершины которого проведена эта биссектриса, и углу, образованному биссектрисой со стороной, к которой она проведена.

Сформулируем задачу в виде теоремы и докажем ее.
Теорема: Если биссектриса, угол, из вершины которого она проведена, и угол, образованный биссектрисой со стороной, к которой она проведена, одного треугольника соответственно равны биссектрисе, углу, из вершины которого она проведена, и углу, образованному биссектрисой со стороной, к которой она проведена, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:
Два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
$BD$ — биссектриса $\angle ABC$.
$B_1D_1$ — биссектриса $\angle A_1B_1C_1$.
$BD = B_1D_1$.
$\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.
$\angle BDA = \angle B_1D_1A_1$.

Доказать:
$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Поскольку $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, она делит его на два равных угла: $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle ABC$. Аналогично, так как $B_1D_1$ является биссектрисой угла $\angle A_1B_1C_1$, то $\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle A_1B_1C_1$. Из условия $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ следует, что $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. В этих треугольниках:

• $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$ (по доказанному в п.1).
• $BD = B_1D_1$ (по условию).
• $\angle BDA = \angle B_1D_1A_1$ (по условию).

Сторона $BD$ (и $B_1D_1$) является прилежащей к двум указанным углам. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA), $\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$.

3. Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих сторон: $AB = A_1B_1$.

4. Углы $\angle BDC$ и $\angle BDA$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$, откуда $\angle BDC = 180^\circ - \angle BDA$. Аналогично, $\angle B_1D_1C_1 = 180^\circ - \angle B_1D_1A_1$. Так как по условию $\angle BDA = \angle B_1D_1A_1$, то равны и смежные с ними углы: $\angle BDC = \angle B_1D_1C_1$.

5. Так как $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ и $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$, то равны и вторые части этих углов: $\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = \angle A_1B_1C_1 - \angle A_1B_1D_1 = \angle D_1B_1C_1$.

6. Рассмотрим треугольники $\triangle CBD$ и $\triangle C_1B_1D_1$. В них:

• $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$ (по доказанному в п.5).
• $BD = B_1D_1$ (по условию).
• $\angle BDC = \angle B_1D_1C_1$ (по доказанному в п.4).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (ASA), $\triangle CBD \cong \triangle C_1B_1D_1$.

7. Из равенства треугольников $\triangle CBD$ и $\triangle C_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих сторон: $BC = B_1C_1$.

8. Теперь рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что:

• $AB = A_1B_1$ (из п.3).
• $BC = B_1C_1$ (из п.7).
• $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (по условию).

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS), $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство двух треугольников по указанным элементам (биссектрисе, углу, из вершины которого она проведена, и углу между биссектрисой и стороной) доказано.

211. На рисунке 162 $AO = CO$, $\angle AOB = \angle COB$. Докажите, что $\triangle ABC$ – равнобедренный.

Рис. 160

Рис. 161

Рис. 162