Страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

209. Докажите равенство двух треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углу между этой стороной и медианой.

Дано:

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
$BM$ – медиана к стороне $AC$ в $\triangle ABC$.
$B_1M_1$ – медиана к стороне $A_1C_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$.
Известно, что:
1) Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ ($AC = A_1C_1$).
2) Медиана $BM$ равна медиане $B_1M_1$ ($BM = B_1M_1$).
3) Угол между стороной $AC$ и медианой $BM$ равен соответствующему углу в другом треугольнике. Пусть это будет угол $\angle BMC$, тогда $\angle BMC = \angle B_1M_1C_1$.

Доказать:

$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, а точка $M_1$ – серединой стороны $A_1C_1$. Это означает, что $MC = \frac{1}{2} AC$ и $M_1C_1 = \frac{1}{2} A_1C_1$.

2. Так как по условию $AC = A_1C_1$, то и половины этих сторон равны: $MC = M_1C_1$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle B_1M_1C_1$. В них:
- $BM = B_1M_1$ (по условию),
- $MC = M_1C_1$ (доказано в п. 2),
- $\angle BMC = \angle B_1M_1C_1$ (по условию).
Следовательно, $\triangle BMC \cong \triangle B_1M_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников $\triangle BMC$ и $\triangle B_1M_1C_1$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности:
- $BC = B_1C_1$,
- $\angle C = \angle C_1$.

5. Теперь вернемся к исходным треугольникам $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Сравним их элементы:
- $AC = A_1C_1$ (по условию),
- $BC = B_1C_1$ (доказано в п. 4),
- $\angle C = \angle C_1$ (доказано в п. 4).
Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников доказано.

209. На рисунке 160 $AB = BC$, $DC = DE$. Докажите, что $\angle A = \angle E$.

Рис. 160

210. Докажите равенство двух треугольников по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

Для доказательства равенства двух треугольников по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе этого угла, рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Пусть $AL$ — биссектриса угла $\angle A$ в $\triangle ABC$ ($L$ лежит на стороне $BC$), а $A_1L_1$ — биссектриса угла $\angle A_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$ ($L_1$ лежит на стороне $B_1C_1$).

Согласно условию задачи, нам дано:

1. Равенство сторон: $AC = A_1C_1$.
2. Равенство прилежащих к этим сторонам углов: $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.
3. Равенство биссектрис, проведенных из вершин этих углов: $AL = A_1L_1$.

Необходимо доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ALC$ и $\triangle A_1L_1C_1$. В этих треугольниках:

• $AC = A_1C_1$ (по условию).
• $AL = A_1L_1$ (по условию).
• Поскольку $AL$ и $A_1L_1$ являются биссектрисами равных углов $\angle BAC$ и $\angle B_1A_1C_1$, они делят эти углы на равные половины. Следовательно, $\angle CAL = \frac{1}{2}\angle BAC$ и $\angle C_1A_1L_1 = \frac{1}{2}\angle B_1A_1C_1$, из чего следует, что $\angle CAL = \angle C_1A_1L_1$.

Таким образом, $\triangle ALC = \triangle A_1L_1C_1$ по двум сторонам ($AC$ и $AL$) и углу между ними ($\angle CAL$), то есть по первому признаку равенства треугольников.

2. Из равенства треугольников $\triangle ALC$ и $\triangle A_1L_1C_1$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их углы: $\angle C = \angle C_1$.

3. Теперь вернемся к исходным треугольникам $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы имеем:

• $AC = A_1C_1$ (по условию).
• $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (по условию).
• $\angle C = \angle C_1$ (как было доказано в предыдущем пункте).

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по стороне ($AC$) и двум прилежащим к ней углам ($\angle BAC$ и $\angle C$), то есть по второму признаку равенства треугольников.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников доказано на основании второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), для чего предварительно было доказано равенство вспомогательных треугольников по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

210. Прямая пересекает стороны угла A в точках B и C так, что $AB = AC$ (рис. 161). Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.

Рис. 161

211. Докажите равенство двух треугольников по биссектрисе, углу, из вершины которого проведена эта биссектриса, и углу, образованному биссектрисой со стороной, к которой она проведена.

Сформулируем задачу в виде теоремы и докажем ее.
Теорема: Если биссектриса, угол, из вершины которого она проведена, и угол, образованный биссектрисой со стороной, к которой она проведена, одного треугольника соответственно равны биссектрисе, углу, из вершины которого она проведена, и углу, образованному биссектрисой со стороной, к которой она проведена, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:
Два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
$BD$ — биссектриса $\angle ABC$.
$B_1D_1$ — биссектриса $\angle A_1B_1C_1$.
$BD = B_1D_1$.
$\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.
$\angle BDA = \angle B_1D_1A_1$.

Доказать:
$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Поскольку $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, она делит его на два равных угла: $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle ABC$. Аналогично, так как $B_1D_1$ является биссектрисой угла $\angle A_1B_1C_1$, то $\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle A_1B_1C_1$. Из условия $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ следует, что $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. В этих треугольниках:

• $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$ (по доказанному в п.1).
• $BD = B_1D_1$ (по условию).
• $\angle BDA = \angle B_1D_1A_1$ (по условию).

Сторона $BD$ (и $B_1D_1$) является прилежащей к двум указанным углам. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA), $\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$.

3. Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих сторон: $AB = A_1B_1$.

4. Углы $\angle BDC$ и $\angle BDA$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$, откуда $\angle BDC = 180^\circ - \angle BDA$. Аналогично, $\angle B_1D_1C_1 = 180^\circ - \angle B_1D_1A_1$. Так как по условию $\angle BDA = \angle B_1D_1A_1$, то равны и смежные с ними углы: $\angle BDC = \angle B_1D_1C_1$.

5. Так как $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ и $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$, то равны и вторые части этих углов: $\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = \angle A_1B_1C_1 - \angle A_1B_1D_1 = \angle D_1B_1C_1$.

6. Рассмотрим треугольники $\triangle CBD$ и $\triangle C_1B_1D_1$. В них:

• $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$ (по доказанному в п.5).
• $BD = B_1D_1$ (по условию).
• $\angle BDC = \angle B_1D_1C_1$ (по доказанному в п.4).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (ASA), $\triangle CBD \cong \triangle C_1B_1D_1$.

7. Из равенства треугольников $\triangle CBD$ и $\triangle C_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих сторон: $BC = B_1C_1$.

8. Теперь рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что:

• $AB = A_1B_1$ (из п.3).
• $BC = B_1C_1$ (из п.7).
• $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (по условию).

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS), $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство двух треугольников по указанным элементам (биссектрисе, углу, из вершины которого она проведена, и углу между биссектрисой и стороной) доказано.

211. На рисунке 162 $AO = CO$, $\angle AOB = \angle COB$. Докажите, что $\triangle ABC$ – равнобедренный.

Рис. 160

Рис. 161

Рис. 162

212. Серединный перпендикуляр стороны $BC$ треугольника $ABC$ пересекает его сторону $AB$ в точке $D$. Найдите длину отрезка $AD$, если $CD = 4$ см, $AB = 7$ см.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена прямая $m$, которая является серединным перпендикуляром к стороне $BC$. Эта прямая пересекает сторону $AB$ в точке $D$.

Основное свойство серединного перпендикуляра к отрезку заключается в том, что любая точка, лежащая на нем, равноудалена от концов этого отрезка.

Поскольку точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, она равноудалена от точек $B$ и $C$. Это означает, что расстояние от $D$ до $B$ равно расстоянию от $D$ до $C$. Запишем это в виде равенства:

$DB = DC$

По условию задачи, нам дана длина отрезка $CD$:

$CD = 4$ см

Из этого следует, что:

$DB = 4$ см

Точка $D$ находится на стороне $AB$. Длина отрезка $AB$ складывается из длин отрезков $AD$ и $DB$:

$AB = AD + DB$

Мы знаем, что $AB = 7$ см и $DB = 4$ см. Подставим эти значения в уравнение, чтобы найти длину $AD$:

$7 = AD + 4$

$AD = 7 - 4$

$AD = 3$ см

Ответ: 3 см.

212. Треугольник $ABC$ – равнобедренный с основанием $AC$, $BD$ – его биссектриса, $DM$ – биссектриса треугольника $BDC$. Найдите угол $\angle ADM$.

213. Серединный перпендикуляр стороны $AB$ треугольника $ABC$ пересекает его сторону $BC$ в точке $M$. Найдите длину стороны $AC$ треугольника $ABC$, если $BC = 16$ см, а периметр треугольника $AMC$ равен $26$ см.

Пусть дан треугольник $ABC$. Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$.

Согласно свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Поскольку точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, расстояние от точки $M$ до вершины $A$ равно расстоянию от точки $M$ до вершины $B$. Таким образом, мы имеем равенство:

$AM = BM$

Периметр треугольника $AMC$ вычисляется как сумма длин его сторон:

$P_{AMC} = AM + MC + AC$

Из условия задачи известно, что периметр треугольника $AMC$ равен 26 см.

$AM + MC + AC = 26$ см

Так как $AM = BM$, мы можем подставить $BM$ вместо $AM$ в формулу периметра:

$BM + MC + AC = 26$

Заметим, что сумма отрезков $BM$ и $MC$ образует сторону $BC$:

$BM + MC = BC$

Следовательно, уравнение периметра можно переписать в виде:

$BC + AC = 26$

По условию, длина стороны $BC = 16$ см. Подставим это значение в полученное уравнение:

$16 + AC = 26$

Решим уравнение относительно $AC$:

$AC = 26 - 16$

$AC = 10$ см

Ответ: 10 см.

213. Один ученик утверждает, что треугольник $ABC$ — равнобедренный, а другой ученик — что треугольник $ABC$ равносторонний.

1) Могут ли оба ученика быть правыми?

2) В каком случае прав только один ученик и какой именно?

214. На рисунке 172 $OA = OD$. Добавьте ещё одно условие так, чтобы треугольники $AOC$ и $DOB$ оказались равными:

1) по первому признаку равенства треугольников;

2) по второму признаку равенства треугольников.

Рис. 172

Рассмотрим треугольники $AOC$ и $DOB$. По условию задачи нам дано, что $OA = OD$. Также, углы $\angle AOC$ и $\angle DOB$ равны, так как они являются вертикальными углами.

1) по первому признаку равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) гласит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

В нашем случае, чтобы применить этот признак, мы должны иметь равенство двух сторон и угла, заключенного между ними. У нас уже есть:

• Равенство одной пары сторон: $OA = OD$.
• Равенство углов между сторонами: $\angle AOC = \angle DOB$.

Угол $\angle AOC$ образован сторонами $OA$ и $OC$. Угол $\angle DOB$ образован сторонами $OD$ и $OB$. Следовательно, для выполнения первого признака равенства не хватает равенства второй пары сторон: $OC$ и $OB$.

Таким образом, добавив условие $OC = OB$, мы сможем утверждать, что $\triangle AOC = \triangle DOB$ по первому признаку (две стороны и угол между ними).

Ответ: необходимо добавить условие $OC = OB$.

2) по второму признаку равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) гласит: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

У нас есть равенство сторон $OA = OD$. Чтобы применить второй признак, нам нужно равенство углов, прилежащих к этим сторонам.

• К стороне $OA$ в $\triangle AOC$ прилежат углы $\angle OAC$ и $\angle AOC$.
• К стороне $OD$ в $\triangle DOB$ прилежат углы $\angle ODB$ и $\angle DOB$.

Мы уже знаем, что одна пара прилежащих углов равна: $\angle AOC = \angle DOB$ (как вертикальные). Для выполнения второго признака необходимо, чтобы была равна и вторая пара прилежащих углов, то есть $\angle OAC = \angle ODB$.

Таким образом, добавив условие $\angle OAC = \angle ODB$, мы сможем утверждать, что $\triangle AOC = \triangle DOB$ по второму признаку (сторона и два прилежащих к ней угла).

Ответ: необходимо добавить условие $\angle OAC = \angle ODB$.

214. Используя признаки равенства треугольников, докажите признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при вершине.

215. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. На отрезке $AC$ отмечена точка $M$, а на отрезке $BD$ – точка $K$ так, что $AM = BK$. Докажите, что:

1) $OM = OK$;

2) точки $M$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой.

1) Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOD$. По условию, отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Это означает, что $AO = OB$ и $CO = OD$. Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ равны как вертикальные углы. Следовательно, треугольники $AOC$ и $BOD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников $\triangle AOC \cong \triangle BOD$ следует равенство их соответствующих сторон и углов: $AC = BD$ и $\angle OAC = \angle OBD$. Теперь рассмотрим треугольники $AOM$ и $BOK$. У нас есть:

• $AO = BO$ (по условию).
• $AM = BK$ (по условию).
• $\angle OAM = \angle OBK$ (так как это те же углы, что и $\angle OAC$ и $\angle OBD$, равенство которых мы доказали выше).

Следовательно, треугольники $AOM$ и $BOK$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников $\triangle AOM \cong \triangle BOK$ следует равенство их соответствующих сторон. Таким образом, $OM = OK$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $OM = OK$ доказано.

2) Из доказанного в пункте 1 равенства треугольников $\triangle AOM \cong \triangle BOK$ следует также равенство соответственных углов: $\angle AOM = \angle BOK$. Точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой, так как $AB$ — это отрезок. Это означает, что угол $\angle AOB$ является развернутым и его величина составляет $180^\circ$. Угол $\angle AOB$ можно представить как сумму двух смежных углов: $\angle AOM + \angle MOB = 180^\circ$. Рассмотрим угол $\angle MOK$. Он состоит из суммы углов $\angle MOB$ и $\angle BOK$. То есть, $\angle MOK = \angle MOB + \angle BOK$. Заменим в этом выражении угол $\angle BOK$ на равный ему угол $\angle AOM$ (из доказательства в пункте 1): $\angle MOK = \angle MOB + \angle AOM$. Так как мы уже установили, что $\angle AOM + \angle MOB = 180^\circ$, то и $\angle MOK = 180^\circ$. Развернутый угол означает, что его стороны являются дополнительными лучами. Следовательно, точки $M$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что точки $M$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой.

215. Используя признаки равенства треугольников, докажите признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и прилежащему к нему углу.

216. На одной стороне угла с вершиной в точке $O$ (рис. 173) отмечены точки $A$ и $B$, а на другой — точки $C$ и $D$ так, что $OA = OC$, $AB = CD$.

Докажите, что луч $OM$ является биссектрисой угла $BOD$, где $M$ — точка пересечения отрезков $AD$ и $BC$.

Рис. 173

Рассмотрим треугольники $\triangle OAD$ и $\triangle OCB$. По условию задачи дано, что $OA = OC$ и $AB = CD$. Поскольку точки A и B лежат на одной стороне угла, а C и D — на другой, то длины отрезков OB и OD можно выразить как $OB = OA + AB$ и $OD = OC + CD$. Из равенства исходных отрезков следует, что $OB = OD$. Угол $\angle BOD$ является общим для обоих треугольников. Таким образом, треугольники $\triangle OAD$ и $\triangle OCB$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства $\triangle OAD = \triangle OCB$ следует равенство их соответственных углов: $\angle OAD = \angle OCB$ и $\angle ODA = \angle OBC$.

Далее рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CDM$. У них $AB = CD$ по условию. Угол $\angle MAB$ совпадает с углом $\angle OAD$, а угол $\angle MCD$ совпадает с углом $\angle OCB$, следовательно, $\angle MAB = \angle MCD$. Аналогично, угол $\angle MBA$ (или $\angle ABM$) совпадает с углом $\angle OBC$, а угол $\angle MDC$ (или $\angle CDM$) совпадает с углом $\angle ODA$, следовательно, $\angle ABM = \angle CDM$. Таким образом, треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CDM$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства $\triangle ABM = \triangle CDM$ следует равенство их соответственных сторон: $BM = DM$.

Наконец, рассмотрим треугольники $\triangle OBM$ и $\triangle ODM$. Мы установили, что $OB = OD$ и $BM = DM$. Сторона $OM$ у этих треугольников общая. Следовательно, треугольники $\triangle OBM$ и $\triangle ODM$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства $\triangle OBM = \triangle ODM$ следует равенство их соответственных углов: $\angle BOM = \angle DOM$. Это по определению означает, что луч OM является биссектрисой угла $\angle BOD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

216. На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $K$ так, что точка $M$ лежит между точками $A$ и $K$, причём $AM = CK$. Докажите, что $MBK$ – равнобедренный.