Страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие существуют виды треугольников в зависимости от количества равных сторон?

В зависимости от количества равных сторон, треугольники классифицируются на три основных вида:

Разносторонний треугольник

Это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Соответственно, все три угла в таком треугольнике также имеют разную величину. Если обозначить длины сторон как a, b и c, то для разностороннего треугольника будет выполняться условие: $a \neq b$, $b \neq c$ и $a \neq c$.

Ответ: Треугольник, у которого нет равных сторон (все стороны разной длины), называется разносторонним.

Равнобедренный треугольник

Это треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием. Важным свойством равнобедренного треугольника является то, что углы при его основании равны. Если стороны a и b — боковые, а c — основание, то $a = b$.

Ответ: Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.

Равносторонний (правильный) треугольник

Это треугольник, у которого все три стороны равны. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного. У него не только все стороны равны, но и все углы равны между собой и составляют $60^\circ$ каждый, так как сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$ ($180^\circ / 3 = 60^\circ$). Если длины сторон — a, b и c, то для равностороннего треугольника верно равенство: $a = b = c$.

Ответ: Треугольник, у которого все три стороны равны, называется равносторонним или правильным.

1. Какие существуют виды треугольников в зависимости от количества равных сторон?

2. Какой треугольник называют равнобедренным? равносторонним? разносторонним?

Равнобедренным называют треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием. Важным свойством равнобедренного треугольника является то, что углы при его основании равны. Например, если в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, то он является равнобедренным с основанием $AC$, и его углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Ответ: Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

Равносторонним (или правильным) называют треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы также равны. Поскольку сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$, то каждый угол равностороннего треугольника равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Ответ: Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны.

Разносторонним называют треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Как следствие, все три угла разностороннего треугольника также имеют разную величину. Если длины сторон треугольника обозначить как $a, b$ и $c$, то для разностороннего треугольника будет выполняться условие $a \ne b$, $b \ne c$ и $a \ne c$.

Ответ: Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

2. Какой треугольник называют равнобедренным? Равносторонним? Разносторонним?

3. Какие стороны равнобедренного треугольника называют боковыми?

3.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны между собой. Именно эти две равные стороны и получили название боковых сторон. Третья сторона, которая может иметь отличную от них длину, называется основанием треугольника.

Например, если в треугольнике $\triangle ABC$ выполняется равенство $AB = BC$, то стороны $AB$ и $BC$ являются боковыми, а сторона $AC$ является основанием. Углы при основании ($\angle BAC$ и $\angle BCA$) в равнобедренном треугольнике также равны.

Ответ: Боковыми сторонами равнобедренного треугольника называют две его равные по длине стороны.

3. Какие стороны равнобедренного треугольника называют боковыми?

4. Какую сторону равнобедренного треугольника называют основанием?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны по длине. Эти две равные стороны носят название боковых сторон.

Третья сторона, которая, как правило, не равна двум боковым сторонам, называется основанием равнобедренного треугольника. Углы, прилежащие к основанию, в равнобедренном треугольнике всегда равны.

Для примера, если в треугольнике $ \triangle ABC $ известно, что сторона $AB$ равна стороне $BC$ ($AB = BC$), то стороны $AB$ и $BC$ являются боковыми, а сторона $AC$ — основанием. Соответственно, углы при основании $\angle BAC$ и $\angle BCA$ будут равны.

В частном случае равностороннего треугольника, у которого все три стороны равны, любую из сторон можно считать основанием.

Ответ: Основанием равнобедренного треугольника называют сторону, которая не является одной из двух равных (боковых) сторон.

4. Какую сторону равнобедренного треугольника называют основанием?

5. Сформулируйте свойство углов равнобедренного треугольника.

Основное свойство углов равнобедренного треугольника формулируется следующим образом: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Рассмотрим подробное доказательство этой теоремы.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $, в котором боковые стороны равны: $ AB = BC $. Сторона $ AC $ является основанием. Нам необходимо доказать, что углы при основании равны, то есть $ \angle BAC = \angle BCA $.

1. Проведем из вершины $ B $ биссектрису $ BD $ к основанию $ AC $. По определению биссектрисы, она делит угол $ \angle ABC $ на два равных угла: $ \angle ABD = \angle CBD $.

2. Биссектриса $ BD $ разделила исходный треугольник $ \triangle ABC $ на два треугольника: $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBD $.

3. Сравним эти два треугольника по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• $ AB = BC $ — по условию, так как $ \triangle ABC $ является равнобедренным.
• $ BD $ — общая сторона для обоих треугольников.
• $ \angle ABD = \angle CBD $ — по построению, так как $ BD $ является биссектрисой.

4. Так как два треугольника ($ \triangle ABD $ и $ \triangle CBD $) равны, то равны и все их соответствующие элементы, включая углы. Угол $ \angle BAD $ в треугольнике $ \triangle ABD $ соответствует углу $ \angle BCD $ в треугольнике $ \triangle CBD $. Следовательно, $ \angle BAD = \angle BCD $.

5. Поскольку угол $ \angle BAD $ является тем же углом, что и $ \angle BAC $, а угол $ \angle BCD $ — тем же, что и $ \angle BCA $, мы доказали, что $ \angle BAC = \angle BCA $.

Таким образом, свойство доказано.

Ответ: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

5. Сформулируйте свойство углов равнобедренного треугольника.

6. Сформулируйте свойство биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является одновременно его медианой и высотой.

Доказательство:

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны ($AB = BC$), а $AC$ — основание. Проведём из вершины $B$ к основанию $AC$ биссектрису $BD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

• $AB = BC$ по определению равнобедренного треугольника.
• $BD$ — общая сторона.
• $\angle ABD = \angle CBD$, так как $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

1. $AD = CD$. Это означает, что $BD$ делит основание $AC$ пополам, то есть $BD$ является медианой треугольника $ABC$.
2. $\angle ADB = \angle CDB$. Так как эти углы смежные, их сумма равна $180^\circ$. Поскольку они равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что $BD$ перпендикулярна основанию $AC$, то есть $BD$ является высотой треугольника $ABC$.

Таким образом, доказано, что биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является его медианой и высотой.

Ответ: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

6. Сформулируйте свойство биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённой к основанию.

7. Каким свойством обладают углы треугольника, лежащие против его равных сторон?

Углы треугольника, лежащие против его равных сторон, равны между собой. Это фундаментальное свойство геометрии, которое является ключевой теоремой для равнобедренных треугольников.

Теорема: В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором две стороны равны, например, сторона $AB$ равна стороне $AC$. Нам необходимо доказать, что углы, лежащие против этих сторон, также равны, то есть $\angle C = \angle B$.

Проведем биссектрису $AD$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Биссектриса делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD$.

Теперь рассмотрим два треугольника, которые образовались в результате этого построения: $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

Сравним эти треугольники. Мы видим, что:

1. Сторона $AB$ равна стороне $AC$ по первоначальному условию.

2. Угол $\angle BAD$ равен углу $\angle CAD$, так как $AD$ является биссектрисой.

3. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle ACD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что все их соответствующие элементы равны. В частности, угол $\angle ABD$ равен углу $\angle ACD$. Это и есть углы, которые мы хотели сравнить: $\angle B = \angle C$. Теорема доказана.

Следствие из теоремы:

В равностороннем треугольнике, у которого все три стороны равны, все три угла также равны между собой. Так как сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, то каждый угол равностороннего треугольника равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$.

Ответ: Углы треугольника, лежащие против его равных сторон, равны между собой.

7. Каким свойством обладают углы треугольника, лежащие против его равных сторон?

8. Сформулируйте свойство углов равностороннего треугольника.

Свойство углов равностороннего треугольника заключается в том, что все его углы равны между собой и каждый из них имеет величину $60^{\circ}$.

Доказательство

1. Рассмотрим равносторонний треугольник, назовем его $ABC$. По определению равностороннего треугольника, все его стороны равны: $AB = BC = AC$.

2. Так как у треугольника $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), то по свойству равнобедренного треугольника, углы при основании $AC$ равны. То есть, угол, лежащий против стороны $BC$, равен углу, лежащему против стороны $AB$: $\angle A = \angle C$.

3. Аналогично, так как стороны $BC$ и $AC$ равны ($BC = AC$), то углы при основании $AB$ также равны. Угол, лежащий против стороны $AC$, равен углу, лежащему против стороны $BC$: $\angle B = \angle A$.

4. Из пунктов 2 и 3 мы получаем, что все три угла треугольника равны между собой: $\angle A = \angle B = \angle C$.

5. Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех внутренних углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. Для нашего треугольника $ABC$ это записывается так: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.

6. Поскольку все углы равны, мы можем заменить $\angle B$ и $\angle C$ на $\angle A$ в уравнении:
$\angle A + \angle A + \angle A = 180^{\circ}$
$3 \cdot \angle A = 180^{\circ}$

7. Решив это уравнение, находим величину угла $A$:
$\angle A = \frac{180^{\circ}}{3} = 60^{\circ}$

8. Так как $\angle A = \angle B = \angle C$, то каждый угол равностороннего треугольника равен $60^{\circ}$. Свойство доказано.

Ответ: В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$.

8. Сформулируйте свойство углов равностороннего треугольника.

9. Каким свойством обладают биссектриса, высота и медиана равностороннего треугольника, проведённые из одной вершины?

В равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведённые из одной и той же вершины, обладают свойством совпадать, то есть они являются одним и тем же отрезком. Докажем это.

Рассмотрим равносторонний треугольник $ \triangle ABC $, в котором все стороны равны ($ AB = BC = AC $) и все углы равны $ 60^\circ $ ($ \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ $).

Проведём из вершины $ B $ к стороне $ AC $ медиану $ BM $. По определению медианы, точка $ M $ является серединой стороны $ AC $, следовательно, $ AM = MC $.

Теперь рассмотрим два треугольника, на которые медиана $ BM $ разделила исходный треугольник: $ \triangle ABM $ и $ \triangle CBM $. В этих треугольниках:

• $ AB = CB $ (как стороны равностороннего треугольника).
• $ AM = CM $ (по построению, так как $ BM $ — медиана).
• $ BM $ — общая сторона.

Следовательно, $ \triangle ABM \cong \triangle CBM $ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов и других элементов:

1. $ \angle ABM = \angle CBM $. Это означает, что отрезок $ BM $ делит угол $ \angle ABC $ пополам, то есть $ BM $ является биссектрисой.

2. $ \angle BMA = \angle BMC $. Эти углы являются смежными, и их сумма составляет $ 180^\circ $. Так как они равны друг другу, то каждый из них равен $ 180^\circ / 2 = 90^\circ $. Это означает, что отрезок $ BM $ перпендикулярен стороне $ AC $, то есть $ BM $ является высотой.

Таким образом, медиана $ BM $, проведённая из вершины $ B $, является одновременно и биссектрисой, и высотой. Поскольку выбор вершины был произвольным, это свойство справедливо для любой вершины равностороннего треугольника.

Ответ: В равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают.

9. Каким свойством обладают биссектриса, высота и медиана равностороннего треугольника, проведённые из одной вершины?

220. Начертите:

1) разносторонний остроугольный треугольник;

2) равнобедренный прямоугольный треугольник;

3) равнобедренный тупоугольный треугольник.

1) разносторонний остроугольный треугольник;

Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$.

Чтобы начертить разносторонний остроугольный треугольник, необходимо соблюсти два условия:

1. Все стороны ($a, b, c$) должны иметь разную длину: $a \neq b \neq c$.
2. Все углы должны быть меньше $90^\circ$. Для этого достаточно, чтобы для самой длинной стороны (например, $c$) выполнялось неравенство из теоремы косинусов: $a^2 + b^2 > c^2$.

Пример построения:

Возьмем треугольник со сторонами 5 см, 6 см и 7 см.
1. Проверим, что он разносторонний: $5 \neq 6 \neq 7$. Условие выполняется.
2. Проверим, что он остроугольный. Самая длинная сторона $c=7$ см. Проверим неравенство: $5^2 + 6^2 > 7^2$. Вычисляем: $25 + 36 > 49$, что дает $61 > 49$. Неравенство верно, значит, угол напротив самой длинной стороны — острый. Следовательно, и остальные углы треугольника тоже острые.

Ответ: Начерчен разносторонний остроугольный треугольник $ABC$, у которого все стороны разной длины и все углы острые.

2) равнобедренный прямоугольный треугольник;

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой ($90^\circ$).

В равнобедренном прямоугольном треугольнике равными сторонами являются катеты (стороны, образующие прямой угол). Углы при основании (гипотенузе) такого треугольника всегда равны $45^\circ$ каждый, так как $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Порядок построения:

1. Начертите прямой угол с вершиной в точке $C$.
2. На лучах, образующих этот угол, отложите два равных отрезка $CA$ и $CB$.
3. Соедините точки $A$ и $B$.

Треугольник $ABC$ будет равнобедренным ($CA = CB$) и прямоугольным ($\angle C = 90^\circ$).

Ответ: Начерчен равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$, у которого катеты $CA$ и $CB$ равны, а угол $C$ прямой.

3) равнобедренный тупоугольный треугольник.

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны. Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой (больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$).

В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине (угол между равными боковыми сторонами). Если бы угол при основании был тупым, то сумма двух углов при основании уже превысила бы $180^\circ$, что для треугольника невозможно.

Порядок построения:

1. Начертите тупой угол с вершиной в точке $A$, например, $120^\circ$.
2. На сторонах этого угла отложите от вершины $A$ два равных отрезка $AB$ и $AC$.
3. Соедините точки $B$ и $C$.

Полученный треугольник $ABC$ будет равнобедренным ($AB = AC$) и тупоугольным ($\angle A > 90^\circ$).

Ответ: Начерчен равнобедренный тупоугольный треугольник $ABC$, у которого боковые стороны $AB$ и $AC$ равны, а угол при вершине $A$ — тупой.

220. Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённые из углов при основании, равны.

221. Начертите:

1) разносторонний прямоугольный треугольник;

2) разносторонний тупоугольный треугольник.

1) разносторонний прямоугольный треугольник

Разносторонний прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90^\circ$), а все три стороны имеют разную длину. Чтобы начертить такой треугольник, необходимо задать катетам разную длину.

Например, выберем для катетов длины $a=3$ ед. и $b=4$ ед. Построим прямой угол с вершиной в точке B и отложим на его сторонах отрезки $BC=a=3$ ед. и $BA=b=4$ ед. Соединим точки A и C. Полученный отрезок $AC$ будет гипотенузой.

Длину гипотенузы $c$ найдем по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ ед.

В результате мы получили треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц. Все длины сторон различны ($3 \neq 4 \neq 5$), а один из углов прямой по построению. Таким образом, построенный треугольник является разносторонним прямоугольным.

Ответ: чертеж разностороннего прямоугольного треугольника представлен выше.

2) разносторонний тупоугольный треугольник

Разносторонний тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол тупой (больше $90^\circ$), а все три стороны имеют разную длину. Для построения такого треугольника необходимо начертить тупой угол и на его сторонах отложить отрезки разной длины.

Например, построим угол $\angle B = 120^\circ$. На его сторонах отложим отрезки $BC=a=5$ ед. и $BA=b=3$ ед. Соединим точки A и C.

Третью сторону $c$ (отрезок $AC$) можно найти по теореме косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(B)$

$c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ) = 25 + 9 - 30 \cdot (-0.5) = 34 + 15 = 49$

$c = \sqrt{49} = 7$ ед.

В результате мы получили треугольник со сторонами 3, 5 и 7 единиц. Все стороны имеют разную длину ($3 \neq 5 \neq 7$), и один из углов тупой. Следовательно, построенный треугольник является разносторонним тупоугольным.

Ответ: чертеж разностороннего тупоугольного треугольника представлен выше.

221. Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

222. Начертите равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной 3 см, так, чтобы угол при вершине был:

В построенных треугольниках проведите высоты к боковым сторонам.

Для решения задачи необходимо начертить три вида равнобедренных треугольников с боковой стороной 3 см, в зависимости от угла при вершине, и в каждом из них провести высоты к боковым сторонам.

1) Угол при вершине острый
Построим равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = 3$ см и острым углом при вершине $B$ (например, $\angle B = 60^\circ$).
Построение треугольника:
1. Чертим отрезок $AB$ длиной 3 см.
2. С помощью транспортира откладываем от точки $B$ угол, меньший $90^\circ$ (например, $60^\circ$).
3. На второй стороне угла откладываем отрезок $BC$ длиной 3 см.
4. Соединяем точки $A$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является остроугольным равнобедренным.
Проведение высот к боковым сторонам:
1. Высота к стороне $BC$: из вершины $A$ опускаем перпендикуляр $AH_1$ на сторону $BC$.
2. Высота к стороне $AB$: из вершины $C$ опускаем перпендикуляр $CH_2$ на сторону $AB$.
В остроугольном треугольнике основания высот ($H_1$ и $H_2$) лежат на самих боковых сторонах.

Ответ: Построен остроугольный равнобедренный треугольник, проведены высоты $AH_1$ и $CH_2$ к боковым сторонам.

2) Угол при вершине прямой
Построим равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = 3$ см и прямым углом при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$).
Построение треугольника:
1. Чертим отрезок $AB$ длиной 3 см.
2. В точке $B$ строим прямой угол ($\angle B = 90^\circ$).
3. На втором луче угла откладываем отрезок $BC$ длиной 3 см.
4. Соединяем точки $A$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным равнобедренным.
Проведение высот к боковым сторонам:
1. Высота к стороне $BC$: это перпендикуляр из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Так как $\angle B = 90^\circ$, то отрезок $AB$ перпендикулярен $BC$. Следовательно, боковая сторона $AB$ является высотой к боковой стороне $BC$.
2. Высота к стороне $AB$: аналогично, отрезок $BC$ перпендикулярен $AB$, поэтому боковая сторона $BC$ является высотой к боковой стороне $AB$.

Ответ: Построен прямоугольный равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны являются высотами друг к другу.

3) Угол при вершине тупой
Построим равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = 3$ см и тупым углом при вершине $B$ (например, $\angle B = 120^\circ$).
Построение треугольника:
1. Чертим отрезок $AB$ длиной 3 см.
2. С помощью транспортира откладываем от точки $B$ угол, больший $90^\circ$ (например, $120^\circ$).
3. На второй стороне угла откладываем отрезок $BC$ длиной 3 см.
4. Соединяем точки $A$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является тупоугольным равнобедренным.
Проведение высот к боковым сторонам:
1. Высота к стороне $BC$: из вершины $A$ опускаем перпендикуляр $AH_1$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Поскольку угол $B$ тупой, основание высоты $H_1$ будет лежать на продолжении стороны $BC$ за вершину $B$.
2. Высота к стороне $AB$: из вершины $C$ опускаем перпендикуляр $CH_2$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Основание высоты $H_2$ также будет лежать на продолжении стороны $AB$ за вершину $B$.

Ответ: Построен тупоугольный равнобедренный треугольник, проведены высоты $AH_1$ и $CH_2$ к продолжениям боковых сторон.

222. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника.

223. 1) Найдите периметр равнобедренного треугольника, основание которого равно 13 см, а боковая сторона – 8 см.

2) Периметр равнобедренного треугольника равен 39 см, а основание – 15 см. Найдите боковые стороны треугольника.

1) Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Равнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны и основание.
Дано:
Основание, $a = 13$ см.
Боковая сторона, $b = 8$ см.
Так как треугольник равнобедренный, у него две боковые стороны равны, то есть обе по 8 см.
Формула периметра равнобедренного треугольника: $P = a + 2b$.
Подставим известные значения в формулу:
$P = 13 + 2 \cdot 8 = 13 + 16 = 29$ см.
Ответ: 29 см.

2) Периметр равнобедренного треугольника равен сумме длины основания и удвоенной длины боковой стороны.
Дано:
Периметр, $P = 39$ см.
Основание, $a = 15$ см.
Пусть $b$ – длина боковой стороны. Формула периметра: $P = a + 2b$.
Подставим известные значения и найдем $b$:
$39 = 15 + 2b$
Вычтем из обеих частей уравнения длину основания:
$2b = 39 - 15$
$2b = 24$
Разделим обе части на 2, чтобы найти длину одной боковой стороны:
$b = 24 / 2$
$b = 12$ см.
Так как треугольник равнобедренный, обе боковые стороны равны 12 см.
Ответ: 12 см.

223. Найдите третью сторону равнобедренного треугольника, если две другие его стороны равны $7 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$. Сколько решений имеет задача?