Номер 8, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 8, страница 72.

8. Сформулируйте свойство углов равностороннего треугольника.

Свойство углов равностороннего треугольника заключается в том, что все его углы равны между собой и каждый из них имеет величину $60^{\circ}$.

Доказательство

1. Рассмотрим равносторонний треугольник, назовем его $ABC$. По определению равностороннего треугольника, все его стороны равны: $AB = BC = AC$.

2. Так как у треугольника $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), то по свойству равнобедренного треугольника, углы при основании $AC$ равны. То есть, угол, лежащий против стороны $BC$, равен углу, лежащему против стороны $AB$: $\angle A = \angle C$.

3. Аналогично, так как стороны $BC$ и $AC$ равны ($BC = AC$), то углы при основании $AB$ также равны. Угол, лежащий против стороны $AC$, равен углу, лежащему против стороны $BC$: $\angle B = \angle A$.

4. Из пунктов 2 и 3 мы получаем, что все три угла треугольника равны между собой: $\angle A = \angle B = \angle C$.

5. Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех внутренних углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. Для нашего треугольника $ABC$ это записывается так: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.

6. Поскольку все углы равны, мы можем заменить $\angle B$ и $\angle C$ на $\angle A$ в уравнении:
$\angle A + \angle A + \angle A = 180^{\circ}$
$3 \cdot \angle A = 180^{\circ}$

7. Решив это уравнение, находим величину угла $A$:
$\angle A = \frac{180^{\circ}}{3} = 60^{\circ}$

8. Так как $\angle A = \angle B = \angle C$, то каждый угол равностороннего треугольника равен $60^{\circ}$. Свойство доказано.

Ответ: В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$.

8. Сформулируйте свойство углов равностороннего треугольника.