Номер 9, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 9, страница 72.

9. Каким свойством обладают биссектриса, высота и медиана равностороннего треугольника, проведённые из одной вершины?

В равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведённые из одной и той же вершины, обладают свойством совпадать, то есть они являются одним и тем же отрезком. Докажем это.

Рассмотрим равносторонний треугольник $ \triangle ABC $, в котором все стороны равны ($ AB = BC = AC $) и все углы равны $ 60^\circ $ ($ \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ $).

Проведём из вершины $ B $ к стороне $ AC $ медиану $ BM $. По определению медианы, точка $ M $ является серединой стороны $ AC $, следовательно, $ AM = MC $.

Теперь рассмотрим два треугольника, на которые медиана $ BM $ разделила исходный треугольник: $ \triangle ABM $ и $ \triangle CBM $. В этих треугольниках:

• $ AB = CB $ (как стороны равностороннего треугольника).
• $ AM = CM $ (по построению, так как $ BM $ — медиана).
• $ BM $ — общая сторона.

Следовательно, $ \triangle ABM \cong \triangle CBM $ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов и других элементов:

1. $ \angle ABM = \angle CBM $. Это означает, что отрезок $ BM $ делит угол $ \angle ABC $ пополам, то есть $ BM $ является биссектрисой.

2. $ \angle BMA = \angle BMC $. Эти углы являются смежными, и их сумма составляет $ 180^\circ $. Так как они равны друг другу, то каждый из них равен $ 180^\circ / 2 = 90^\circ $. Это означает, что отрезок $ BM $ перпендикулярен стороне $ AC $, то есть $ BM $ является высотой.

Таким образом, медиана $ BM $, проведённая из вершины $ B $, является одновременно и биссектрисой, и высотой. Поскольку выбор вершины был произвольным, это свойство справедливо для любой вершины равностороннего треугольника.

Ответ: В равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают.

9. Каким свойством обладают биссектриса, высота и медиана равностороннего треугольника, проведённые из одной вершины?