Номер 222, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 222, страница 72.

222. Начертите равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной 3 см, так, чтобы угол при вершине был:

1) острым; 2) прямым; 3) тупым.

В построенных треугольниках проведите высоты к боковым сторонам.

Для решения задачи необходимо начертить три вида равнобедренных треугольников с боковой стороной 3 см, в зависимости от угла при вершине, и в каждом из них провести высоты к боковым сторонам.

1) Угол при вершине острый
Построим равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = 3$ см и острым углом при вершине $B$ (например, $\angle B = 60^\circ$).
Построение треугольника:
1. Чертим отрезок $AB$ длиной 3 см.
2. С помощью транспортира откладываем от точки $B$ угол, меньший $90^\circ$ (например, $60^\circ$).
3. На второй стороне угла откладываем отрезок $BC$ длиной 3 см.
4. Соединяем точки $A$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является остроугольным равнобедренным.
Проведение высот к боковым сторонам:
1. Высота к стороне $BC$: из вершины $A$ опускаем перпендикуляр $AH_1$ на сторону $BC$.
2. Высота к стороне $AB$: из вершины $C$ опускаем перпендикуляр $CH_2$ на сторону $AB$.
В остроугольном треугольнике основания высот ($H_1$ и $H_2$) лежат на самих боковых сторонах.

Ответ: Построен остроугольный равнобедренный треугольник, проведены высоты $AH_1$ и $CH_2$ к боковым сторонам.

2) Угол при вершине прямой
Построим равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = 3$ см и прямым углом при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$).
Построение треугольника:
1. Чертим отрезок $AB$ длиной 3 см.
2. В точке $B$ строим прямой угол ($\angle B = 90^\circ$).
3. На втором луче угла откладываем отрезок $BC$ длиной 3 см.
4. Соединяем точки $A$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным равнобедренным.
Проведение высот к боковым сторонам:
1. Высота к стороне $BC$: это перпендикуляр из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Так как $\angle B = 90^\circ$, то отрезок $AB$ перпендикулярен $BC$. Следовательно, боковая сторона $AB$ является высотой к боковой стороне $BC$.
2. Высота к стороне $AB$: аналогично, отрезок $BC$ перпендикулярен $AB$, поэтому боковая сторона $BC$ является высотой к боковой стороне $AB$.

Ответ: Построен прямоугольный равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны являются высотами друг к другу.

3) Угол при вершине тупой
Построим равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = 3$ см и тупым углом при вершине $B$ (например, $\angle B = 120^\circ$).
Построение треугольника:
1. Чертим отрезок $AB$ длиной 3 см.
2. С помощью транспортира откладываем от точки $B$ угол, больший $90^\circ$ (например, $120^\circ$).
3. На второй стороне угла откладываем отрезок $BC$ длиной 3 см.
4. Соединяем точки $A$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является тупоугольным равнобедренным.
Проведение высот к боковым сторонам:
1. Высота к стороне $BC$: из вершины $A$ опускаем перпендикуляр $AH_1$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Поскольку угол $B$ тупой, основание высоты $H_1$ будет лежать на продолжении стороны $BC$ за вершину $B$.
2. Высота к стороне $AB$: из вершины $C$ опускаем перпендикуляр $CH_2$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Основание высоты $H_2$ также будет лежать на продолжении стороны $AB$ за вершину $B$.

Ответ: Построен тупоугольный равнобедренный треугольник, проведены высоты $AH_1$ и $CH_2$ к продолжениям боковых сторон.

222. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника.