Номер 228, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 228, страница 73.

228. На рисунке 182 $AB = BC$, отрезок $BD$ — медиана треугольника $ABC$, $\angle ABD = 53^\circ$. Найдите углы $ABC$ и $ADE$.

Рис. 182

ABC

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$.
Отрезок $BD$ является медианой, проведенной к основанию $AC$.
Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой.
Так как $BD$ является биссектрисой угла $ABC$, она делит этот угол на два равных угла: $\angle ABD = \angle CBD$.
По условию нам дано, что $\angle ABD = 53^{\circ}$.
Следовательно, угол $ABC$ равен сумме этих двух углов:
$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 2 \cdot \angle ABD$
$\angle ABC = 2 \cdot 53^{\circ} = 106^{\circ}$.

Ответ: 106°.

ADE

Как было сказано выше, в равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BD$, проведенная к основанию $AC$, также является и высотой.
Это означает, что $BD$ перпендикулярна $AC$ ($BD \perp AC$).
Угол, образуемый при пересечении перпендикулярных прямых, равен $90^{\circ}$. Таким образом, $\angle BDA = 90^{\circ}$ и $\angle BDC = 90^{\circ}$.
Прямые $AC$ и $BE$ пересекаются в точке $D$. При этом образуются вертикальные углы. Углы $\angle ADE$ и $\angle BDC$ являются вертикальными.
По свойству вертикальных углов, они равны между собой: $\angle ADE = \angle BDC$.
Поскольку $\angle BDC = 90^{\circ}$, то и $\angle ADE$ также равен $90^{\circ}$.

Ответ: 90°.

228. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а его медиана разбивает данный треугольник на два треугольника так, что периметр одного из них на 6 см меньше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника. Сколько решений имеет задача?