Номер 233, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 233, страница 73.

233. На рисунке 185 $AB = BC$, $DC = DE$. Докажите, что $\angle A = \angle E$.

Рис. 185

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию задачи дано, что $AB = BC$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle BAC = \angle BCA$.

Далее рассмотрим треугольник $\triangle DCE$. По условию задачи дано, что $DC = DE$. Следовательно, $\triangle DCE$ также является равнобедренным, но с основанием $CE$. Углы при основании этого треугольника также равны, поэтому $\angle DCE = \angle DEC$.

Углы $\angle BCA$ и $\angle DCE$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении двух прямых, $AE$ и $BD$. Согласно свойству вертикальных углов, они равны между собой: $\angle BCA = \angle DCE$.

Теперь мы можем сопоставить все полученные равенства. Обозначим $\angle BAC$ как $\angle A$ и $\angle DEC$ как $\angle E$.
1. Из свойств равнобедренного $\triangle ABC$ мы имеем: $\angle A = \angle BCA$.
2. Из свойства вертикальных углов мы имеем: $\angle BCA = \angle DCE$.
3. Из свойств равнобедренного $\triangle DCE$ мы имеем: $\angle DCE = \angle E$.

Объединяя эти равенства в одну цепочку, получаем: $\angle A = \angle BCA = \angle DCE = \angle E$.
Отсюда напрямую следует, что $\angle A = \angle E$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle A = \angle E$ доказано.

233. Серединный перпендикуляр стороны $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $B$. Найдите $\angle C$, если $\angle A = 17^{\circ}$.